Caracterizar los núcleos de monoid homomorphisms

Question

El núcleo de un monoid homomorphism $f : M \to M'$ es el submonoid $\{m \in M : f(m)=1\}$. (Esto no debe ser confundido con el kernel de par, que es a menudo también se denomina el núcleo).

Pregunta. Que submonoids $N$ de un determinado monoid $M$ surgir como el núcleo de una monoid homomorphism? (Si es necesario, vamos a suponer que $M$ es conmutativa.)

Aquí es una condición necesaria: Si $xy \in N$,$x \in N \Leftrightarrow y \in N$.

Answer 1

Deje $(M,\cdot,1)$ ser un monoid. Un submonoid $N$ $M$ es un núcleo de algunos homorphism si y sólo si $y_1,..,y_n \in N$,$x_1y_1...x_ny_n\in N \Leftrightarrow x_1...x_n \in N$. Una implicación es trivial. Por el otro tenemos que generar una congruencia de $N$. Deje $R$ ser el cierre transitivo de la siguiente conjunto $$S=\{(a,b)\,|\,\exists a_1,...,a_n,b_1,...,b_m \in M, x_1,...,x_n,y_1,...,y_m\in N\ x_1a_1...x_na_n=y_1b_1...y_mb_m,\, a=a_1...a_n,\, b=b_1...b_m\}$$ which is submonoid of $M\times M$ and is reflexive and symmetric. Note that $R$ is hence a congruence. Let $p:M\a M/R$ be the canonical quotient. We will show that $N$ is the kernel of $q$. i.e. we need to show that if $(a,1)$ is $R$, then $a$ is in $N$. Let us begin by showing that if $(a,b)$ is in $S$ and $b$ is in $N$, then $a$ is in $N$. Accordingly suppose there exists $a_1,...,a_n,b_1,...,b_m\en M$, $x_1,...,x_n, y_1,...,y_m\en N$ such that $a=a_1...a_n$, $b=b_1...b_m$ and $x_1a_1...x_na_n=y_1b_1...y_mb_m$. We have $$b=b_1...b_m\in N \Rightarrow x_1a_1...x_na_n=y_1b_1...y_mb_m \in N \Rightarrow a=a_1...a_n \in N.$$ Now suppose that $(a,1)$ is in $R$, then there exists $u_1,...,u_p$ such that $u_1=a$, $u_p=1$ and $(u_i,u_{i+1}) \in S$. We have $(u_{p-1},u_p) \in S$ and $u_p=1$ is in $N$ which implies that $u_{p-1}$ is in $N$. Repeating we find that $$ is in $$ N según se requiera.

Tal vez vale la pena mencionar que cuando se $M$ es conmutativa de la condición anterior se reduce a lo que se menciona en la pregunta, y dado $N$ la congruencia $R$ arriba es simplemente $$R=\{(a,b)\,|\,\exists x,y\in N\, xa=yb\}.$$

Answer 2

Una tarde de respuesta.

Nex la respuesta es correcta, pero se puede simplificar de la siguiente manera. Deje $N$ ser un submonoid de $M$. Entonces existe una congruencia $\sim$ $M$ tal que $N = [1]_\sim$ si y sólo si, $$ \text{(C) para todos los $x,y \in M$ y para todos $u \in N$, $xuy \in N \iff xy\in N$.} $$ La condición (C) es necesario, ya que $u \sim 1$ implica $xuy \sim xy$. Para probar que es suficiente, considerar la congruencia sintáctica de $N$, que es el de la congruencia $\sim_N$ $M$ definido por $u \sim_N v$ si y sólo si, para todos los $x, y \in M$, $$ xuy \N \iff xvy \N $$ La condición (C) dice que $[1]_{\sim_N} = N$, lo que concluye la prueba.

De un lado comentario. El término núcleo probablemente debería ser reservado para el núcleo de la categoría de un monoid homomorphism. Ver los artículos [1, 2, 3] para referencias y estas diapositivas para una visión general rápida.

[1] S. Margolis y J.-É. Pin, Inversa semigroups y extensiones de grupos por semilattices, J. de Álgebra 110 (1987), 277-297.

[2] B. Wilson, Categorías como álgebra: un ingrediente esencial en la teoría de la monoids, J. Pure Appl. Álgebra 48 (1987), no. 1-2, 83--198.

[3] B. Steinberg y B. Wilson, Categorías como álgebra II, Comerc. J. Álgebra Comput. 13 (2003), no. 6, 627--703.