Mostrar la secuencia $(1 - \frac{1}{n})^{-n}$ está disminuyendo.

Question

¿Cómo se muestra la secuencia $(1 - \frac{1}{n})^{-n}$ está disminuyendo?

Entiendo que el teorema del binomio debería usarse aquí pero no veo cómo podemos usarlo para demostrar que $a_{n+1} < a_n$ .

Reescribiré la secuencia como, \begin {align*} (1 - \frac {1}{n})^{-n} &= ( \frac {n-1}{n})^{-n} \\ &= ( \frac {n}{n-1})^n \\ &= (1 + \frac {1}{n-1})^n \end {align*}

Entonces puedo aplicarle el teorema del binomio.

Hasta aquí llegué.

Answer 1

Dejemos que

$$a_n=(1 - \frac{1}{n})^{-n}=\frac{n^n}{(n-1)^n}$$

Entonces

$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n^n}{(n-1)^n}\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^{2n+2}}{(n-1)^{n+1}(n+1)^{n+1}}\frac{n-1}{n}$$ $$=\left( \frac{n^{2}}{n^2-1} \right)^{n+1} \frac{n-1}{n}=\left( 1+\frac{1}{n^2-1} \right)^{n+1} \frac{n-1}{n}$$

Por el Teorema de Bernoully o Binomio

$$\frac{a_n}{a_{n+1}} \geq \left( 1+\frac{n+1}{n^2-1} \right) \frac{n+1}{n}=\frac{n}{n-1} \frac{n-1}{n}=1$$

Answer 2

En última instancia, quiere demostrar que $^{(1)}$ para $n\geqslant 2$ $${\left( {1 + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}} \right)^n} > 1 + \frac{1}{n}$$

Utilizando el Teorema del Binomio, el lado izquierdo es $${\left( {1 + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}} \right)^n} > 1 + \frac{n}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}$$

¿Puede mostrar el lado derecho es $>1+n^{-1}$ ? Tenga en cuenta que $$1 + \frac{n}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}} - \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\;;\; \text{if }\;n\geqslant 2$$

---

$(1)$ $$\begin{align} {\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)^{ - n}} &> {\left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right)^{ - n - 1}} \\ {\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right)^{ - n}} &> {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^{ - n}}{\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^{ - 1}} \\ {\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right)^{ - n}} &> {\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^{ - n}}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) \\ {\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)^n}{\left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^n} &> 1 + \frac{1}{n} \\ {\left( {\frac{{{n^2}}}{{{n^2} - 1}}} \right)^n} &> 1 + \frac{1}{n} \\ {\left( {1 + \frac{1}{{{n^2} - 1}}} \right)^n} &> 1 + \frac{1}{n} \end{align} $$

Answer 3

$$ \begin{align} \left(1-\frac1n\right)^{-n} &=\left(\frac{n}{n-1}\right)^n\\ &=\left(1+\frac1{n-1}\right)^n\\ \end{align} $$ y se demostró que esto disminuye en esta respuesta .

Answer 4

$\displaystyle a_n=\left(\frac{n}{n-1}\right)^n$

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}(n-1)^n}{n^{2n+1}}<1$

Answer 5

Método analítico. Set $$ f(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-x} =\exp\left(-x\log\left(1-\frac{1}{x}\right)\right). $$ Entonces $$ f'(x)=f(x)\left(\log\left(\frac{x}{x-1}\right)-\frac{1}{x-1}\right) $$ y hay que mirar donde la derivada es negativa, es decir $$ \log\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}<0 $$ o bien, la fijación de $t=x/(x-1)$ , $$ \log t-(t-1)<0, $$ que es el caso de cada $t>0$ excepto $t=1$ . Por lo tanto, la función original es decreciente en cada intervalo que se define, en particular en el intervalo $(1,\infty)$ .