Principio de reflejo y de compacidad teorema de ZFC

Question

Yo no puedo ver donde me equivoco en el siguiente razonamiento.

Para la Reflexión principio, para cada conjunto finito $\Gamma$ de las sentencias de ZFC podemos prueba de que $$ ZFC\vdash\existe M(M\modelos\Gamma). $$
Así, esto significa que ZFC finitely coherente. Ahora por Compacness teorema, podemos concluir que $$ ZFC\vdash\existe M(M\modelos de ZFC). $$ Sé que, por Gödel del segundo teorema de la incompletitud, esto es imposible.

Entonces, ¿dónde está mi error?

Answer 1

El problema es que la reflexión teorema es realmente un metatheorem - es un esquema de teoremas que dice

Para cada finito $\Gamma \subseteq \text{ZFC}$,$\text{ZFC} \vdash \text{Con}(\Gamma)$.

La reflexión teorema ¿ no dicen

$ \text{ZFC} \vdash \text{For every finite } \Gamma \subseteq \text{ZFC}, \text{Con}(\Gamma)$.

Si ZFC resultó ser el último, entonces, debido a la compacidad, como usted escribió, ZFC iba a probar su propia consistencia. Pero lo anterior no contradice la compacidad, porque el cuantificador más finito subtheories está en el lado izquierdo de la turnstyle.

El artículo de la Wikipedia está actualmente escrito de una manera confusa, pero que es algo común en la forma en que muchas personas escriben sobre estos principios en la teoría de conjuntos.

Véase también: Montague con la Reflexión del Principio y el Teorema de Compacidad en MathOverflow