Cómo es la Ley de Gauss (forma integral) llegó a partir de la Ley de Coulomb, y cómo es el diferencial de forma que llegue a través de que?

Question

En una nota similar: cuando se utilice la Ley de Gauss, se puede incluso comenzar con la ley de Coulomb, o toma uno como dado que el flujo es la integral de superficie del campo Eléctrico en la dirección de la normal a la superficie en un punto?

Answer 1

Supongamos por simplicidad consideremos $n$ punto de cargos $q_1$, $\ldots$, $q_n$, en las posiciones $\vec{r}_1$, $\ldots$, $\vec{r}_n$, en la electrostática límite, con el vacío de la permitividad $\epsilon_0$.

Ahora vamos a esbozar una posible estrategia para demostrar la ley de Gauss de la ley de Coulomb:

1. Deducir de la ley de Coulomb que el campo eléctrico en la posición $\vec{r}$ es $$\tag{1} \vec{E}(\vec{r})~=~ \sum_{i=1}^n\frac{q_i }{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3} . $$

2. Deducir la densidad de carga $$\tag{2} \rho(\vec{r})~=~\sum_{i=1}^n q_i\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_i). $$

3. Recordar la matemática siguiente identidad $$\tag{3}\vec{\nabla}\cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}~=~4\pi\delta^3(\vec{r}) .$$ (Este Phys.SE respuesta puede ser útil en la demostración de eq.(3), que también puede ser escrito como $\nabla^2\frac{1}{|\vec{r}|}=-4\pi\delta^3(\vec{r})$).

4. El uso de ecualizadores. (1)-(3) para demostrar la ley de Gauss en forma diferencial $$\tag{4} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}~=~\frac{\rho}{\epsilon_0} .$$

5. Deducir la ley de Gauss en forma integral a través del teorema de la divergencia.