Encontrar $f(x)$ si $f(x+y)=f(x)+f(y) - 2xy + (e^x -1)(e^y -1) $

Question

Deje $f$ ser un diferencial en función de la satisfacción de la relación $f(x+y)=f(x)+f(y) - 2xy + (e^x -1)(e^y -1)$$ \ \forall x , y \in\mathbb R $ y $f'(0)=1$

Mi trabajo

Poner a $y=0$ $$f(x)=f(x) + f(0)$$

$$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x)+f(h) - 2xh + (e^x -1)(e^h -1)-f(x)}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h) - 2xh + (e^x -1)(e^h -1)}{h}$$ Cómo predecir las cosas después de eso?

Answer 1

Como $f$ es diferenciable, $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}=f'(0)=1 $$ También, $$\lim_{h \to 0} \frac{-2xh+(e^x-1)(e^h-1)}{h}=-2x+(e^x-1)\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=-2x+e^x-1$$

Poner esto juntos, $$ f'(x)=1-2x+e^x-1=-2x+e^x $$ y se puede integrar para encontrar $f$.

Answer 2

Alternativamente, escribir la ecuación funcional como $$f(x+y)-e^{x+y}+(x+y)^2+1=f(x)-e^x+x^2+1 + f(y) - e^y +y^2+1$$

Sustituto $g(x)=f(x)-e^x+x^2+1$. Esto le da

$$g(x+y)=g(x)+g(y)$$

que es la de Cauchy funcional de la ecuación. Debido a $f$ es derivable en cero, todas las soluciones están dadas por $g(x)=cx$ algunos $c \in \mathbb R$.

Por lo $f(x)=e^x+cx-x^2-1$. Por lo $f'(x) = e^x+c-2x$, lo $f'(0)=1+c=1$, por lo tanto $c=0$.

Por lo $f(x)=e^x-x^2-1$.