Si $p$ es un primer e $p \mid ab$, $p \mid a$ o $p \mid b$.

Question

La prueba es que ya se da en el libro de texto, pero traté de otra manera alrededor.

La prueba por contradicción: Supongamos que $p$ no divide $a$ $p$ no divide $b$, pero $p$ divide $ab$. Por lo $\gcd(p,a)=1$$\gcd(p,b)=1$. Dado que podemos construir combinaciones lineales

$sp+ta=1$ junto con $up+wb=1$. La multiplicación de la izquierda y la escritura lados conseguimos

$spup+spwb+taup+tawb=1$ o $p(sup+swb+tau)+tw(ab)=1 \implies \gcd(p,ab)=1$. Esta es una contradicción.

Es riguroso y a prueba de sonido?

Answer 1

Sí, la prueba es correcta. Aquí está la misma prueba usando el mcd leyes (distributiva, etc).

$\smash[b]{\quad 1 = \underbrace{(p,a)}_{\large =\, 1}\underbrace{(p,b)}_{\large =\, 1} = ((p,a)p,(p,a)b) = (p^2,ap,bp,ab) = ((\underbrace{p,a,b\!}_{\color{#c00}{\large =\,1}})\, p,ab) = (p,ab)} \phantom{\dfrac{1}{1_1}}$

donde anteriormente hemos utilizado la inferencia: $\ (p,a)=1\,\Rightarrow\,(p,a,b)\color{#c00}{ = 1}.$

Comentario $\ $ La comparación puede resultar instructivo.

Euclides del Lexema en Bezout forma, mcd forma y la forma ideal

$\quad \smash[t]{\begin{align}\\ \\ px\!+\!ay=&\,\color{#c00}1,\,\ p\ \mid\ ab\ \ \ \Rightarrow\, p\ \mid\ b.\ \ \ {\bf Proof}\!:\,\ p\ \mid\ pb,ab\, \Rightarrow\, p\,\mid pbx\!\!+\!aby\! =\, (\!\overbrace{px\!+\!ay}^{\large\color{#c00} 1}\!) b = b\\ (p,\ \ \ a)=&\,\color{#c00}1,\,\ p\ \mid\ ab\ \ \ \Rightarrow\, p\ \mid\ b.\ \ \ {\bf Proof}\!:\,\ p\ \mid\ pb,ab\, \Rightarrow\, p\,\mid (pb,\ \ ab) = (p,\ \ \ a)\ \ b =\, b\\ P\! +\!A\ =&\,\color{#c00}1,\, P\supseteq AB\, \Rightarrow P \supseteq B.\,\ {\bf Proof}\!:\! P \supseteq\! PB,\!AB\!\Rightarrow\!\! P\supseteq\! PB\!+\!\!AB =(P\!+\!A)B = B \end{align}}$

Nota cómo la Ley Distributiva de los números enteros es sustituido por la Ley Distributiva para gcds e ideales en las dos últimas igualdades en cada prueba.

Answer 2

Otra primaria de la prueba, que utiliza sólo euclidiana de la división.

Deje $p$ dividiendo $ab$, pero no $a$. Considere el siguiente conjunto de números naturales: $$E=\bigl\{\,n\in \mathbf N^{*}\:;\:p\mid nb\,\bigr\}. $$ $E$ no está vacío, ya que contiene la $p$$a$. De ahí que contiene un menor elemento, $n_0$.

Reclamo: $n_0$ divide todos los elementos de a $E$. De hecho, vamos a $n$ cualquier elemento de $E$. Queremos probar el resto de la división de $n$$n_0$$0$. Así que vamos a escribir: $n=qn_0+r, \enspace 0\le r <n_0$.

Como $p\mid nb$ y $p\mid n_0b$, $p\mid (n-qn_0)b=rb$, por lo tanto, si $r\neq 0$, $r$ es un elemento de $E$, lo que contradice $n_0$ es mínima. Por lo tanto $r=0$$n_0\mid n$.

En particular, $n_0\mid p$, por lo tanto $n_0=1$ o $p$. El último caso es imposible, por hipótesis, ya que $n_0\mid a$. Por lo $n_0=1$, e $p\mid n_0b=b$.

Answer 3

Espero que también es otro de primaria prueba de este lema :

Supongamos que $p$ (un número primo) no divide $a$ $p$ no divide $b$.

Eso significa que $\exists\ (k_1,r_1), (k_2,r_2) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*$ tales como :

$a=pk_1+r_1$ $0<r_1 <p$ $b=pk_2+r_2$ $0<r_2 <p$

$\Rightarrow$ $ab=(pk_1+r_1)(pk_2+r_2)=p(pk_1 k_2 + k_1 r_2 + k_2 r_1)+r_1 r_2 = pK+R$

$p$ no divide $R$. De hecho, si $p$ dividido $R=r_1 r_2$ $\gcd(p,r_1)=1$ por el Lema de Gauss $p$ brecha $r_2$. Imposible.

Por lo tanto, $p$ no divide $ab$.

Concluyo contraposición que : si $p$ no divide $a$ $p$ no divide $b$ $p$ no divide $ab$.

Con este método, que fácilmente se puede generalizar este lema a $n$ números : "Si $p$ es un número primo que divide $a_1 a_2 ... a_n$ $p$ divide $a_1$ o ... o $a_n$".

PS : no sé si funciona en PID, ¿alguien puede confirmar ?