Encontrar dos reglas diferentes para una secuencia $2, 4, 8, \ldots$

Question

Pregunta:

Los tres primeros términos de una secuencia dada.

$2, 4, 8...$

Escribir dos reglas diferentes para continuar la secuencia. Dan las dos siguientes condiciones para cada regla.

Respuesta:

He encontrado una regla que se cumple esta secuencia y no podía pensar en otra.

$1)$ El siguiente término es el doble de la anterior legislatura:

$2, 4, 8, 16, 32...$

No estoy del todo de lo que otra regla diferente podría ser... Gracias.

Answer 1

$f(n) = n^2 - n + 2$ da $f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8, f(4) = 14, f(5) = 22$

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Ha $3$ términos, así que usted puede construir una $2$nd grado del polinomio que pasa por esos tres puntos. Existen dos enfoques para esto, escriba $f(n) = an^2 + bn + c$ y, a continuación, conecte $(1, 2), (2, 4), (3, 8)$, y encontrar los coeficientes que no es demasiado malo para hacer. Por otro lado, puede utilizar la Interpolación de Lagrange para una forma rápida de calcular el polinomio.

Answer 2

Una idea es mirar las diferencias entre términos consecutivos. $4-2=2$ $8-4=4$ , un aumento de $2$, por lo que podría tratar de hacer estas diferencias aumentan por $2$ cada vez. La siguiente diferencia tendría que ser $4+2=6$, y el después de lo que luego sería $6+2=8$; los términos correspondientes de la secuencia sería $8+6=14$$14+8=22$. Se puede encontrar una fórmula para la $n$-ésimo término si esta regla es seguida? La siguiente tabla puede ayudarle a hacer esto.

$$\begin{array}{rcc} n:&1&2&3&4&5\\ x_n:&2&4&8&14&22\\ n^2:&1&4&9&16&25\\ n^2-x_n:&-1&0&1&2&3 \end{array}$$

Answer 3

"2, 4, 8" no de una "secuencia", es el comienzo de uno - y, dado los primeros tres valores, hay un número infinito de secuencias que comienzan con esos tres valores.

Answer 4

Aquí está una familia de una cantidad no numerable de secuencias:

$f_\epsilon(n) = \lfloor (2+\epsilon)^n \rfloor$ $0\le\epsilon<\sqrt[3]{9}-2$

$\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero no mayor que $x$.

He aquí otro interesante secuencia:

$f(n)$ es la suma de los dígitos de la $(n+4)$-ésimo primo.

O, $f(n)$ es el máximo número de piezas de un pastel alcanzable con $n$ cortes.

Por supuesto que hay un montón de otras posibilidades.

Answer 5

Otra regla es que la secuencia es la secuencia de números no divisibles por $3$. Por lo $f(n) = 2n$ donde $n \neq 0 \pmod 3$ que da $f(n) = 2n$ donde $n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, \ldots$ esto da $f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8, f(5) = 10, f(7) = 14, f(8) = 16$.

El punto es, usted puede pensar en todo tipo de artificiales reglas que se ajustan a la primera $k$ términos de una secuencia dada, yo.e: listado de los primeros términos de una secuencia no identificar la secuencia.