¿Cuáles son los solucionable subgrupos de $S_n$?

Question

¿Cuáles son los solucionable subgrupo de $S_n$?

Sé que cuando $n \geq 5$ ambos $S_n$ $A_n$ no son resolubles. Pero, lo "grande" puede una solución de permutación grupo de al $n$ es dado.

Muchas gracias~

Answer 1

Voy a suponer que quieres decir: ¿qué tan grande puede el orden de una solución subgrupo del grupo simétrico de n puntos?

La mayor nilpotent subgrupo del grupo simétrico de grado 2ⁿ es el Sylow 2-subgrupo, un iterado corona de producto de una forma muy sencilla nilpotent grupo, el grupo simétrico de 2 puntos. La mayor nilpotent subgrupo de un general del grupo simétrico es sólo un producto directo de estos y a veces, alternando el grupo en tres puntos.

Del mismo modo, la mayor solucionable subgrupo del grupo simétrico de grado 4ⁿ es el iterado corona producto de una muy compacto solucionable permutación grupo, el grupo simétrico de 4 puntos. El uso de ideas similares, los asociados con destino a la orden puede ser demostrado por todos los grupos simétricos:

En Dixon (1967), se demuestra que si G ≤ Sym(n) es una solución de permutación grupo de grado n, entonces |G| ≤ k⁽ⁿ⁻¹⁾, donde k≈2.88 es la raíz cúbica de 24.

A menudo uno está interesado en la transitivo o incluso grupos primitivos. A continuación, mucho más pequeño límites están disponibles, pero la real orden máximo de una solución transitivo o primitivo grupo de grado n depende tanto de las propiedades aritméticas de n como en su tamaño. Por ejemplo, si n es primo y G es transitiva, entonces |G| ≤ n(n−1) es mucho menor cota superior (alcanzado por AGL(1,n)). Si G es solucionable y primitivo de grado n, entonces |G| ≤ n⁴ (que aún mantiene sin solución hipótesis, por Prager–Saxl (1980)). Pálfy (1982) da aún el mejor de los límites.

Dixon, John D. "El Ajuste de los subgrupos de un lineal solucionable grupo." J. Austral. De matemáticas. Soc. 7 (1967) 417-424. MR230814 DOI:10.1017/S1446788700004353

Pálfy, P. P. "Un polinomio obligados por las órdenes de la primitiva solución de los grupos". J. Álgebra 77 (1982), no. 1, 127-137. MR665168 DOI:10.1016/0021-8693(82)90281-2.

Answer 2

Si $n = p$ es primo, entonces cualquier transitiva solucionable subgrupo de $S_p$ figura en el grupo de transformaciones afines $x \mapsto ax + b$ (aquí se $a \in \mathbb F_p^{\times}$$b \in \mathbb F_p$), pensado como un grupo de transformaciones de $\mathbb F_p$ (un conjunto de orden $p$) a sí mismo. (Este resultado vuelve a Galois a sí mismo, y fue una de las motivaciones para su invención de los campos finitos.)

Answer 3

He aquí un límite inferior. Para un primer $p$ y un entero $n$ deje $\nu_p(n)$ denotar el mayor poder de la $p$ dividiendo $n$. Recordemos que $$\nu_p(n!) = \sum_{k \ge 1} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \approx \frac{n}{p-1}.$$

De ello se desprende que la Sylow $p$-subgrupo de $S_n$ (que, por ser un $p$-grupo, automáticamente es solucionable) ha pedido a $p^{ \frac{n}{p-1} }$. Fijo $n$ esto se maximiza cuando se $p = 2$, dando una solución subgrupo de $S_n$ de orden acerca de la $2^n$.