Verdad vacua y enunciados condicionales universales

Question

Algún tiempo después de empezar a estudiar los enunciados condicionales, empecé a tener dificultades para entender la verdad vacua. Por ejemplo, el hecho de que para cualquier conjunto $A$ tenemos $\emptyset\subset A$ se suele justificar preguntando (casi) retóricamente: "Bueno, ¿se puede encontrar un elemento en el conjunto vacío que no esté en $A$ ?", que sin duda es lo que se requiere para demostrar que la afirmación es falsa, pero esa respuesta siempre me hacía preguntar ingenuamente: "Bueno, ¿puedes encontrar elementos en el conjunto vacío que son en A?

No fue hasta que finalmente comprendí que la afirmación $\forall x\in A\,P(x)$ no implican la existencia de un $x$ para lo cual $P(x)$ es verdad. Sólo pretende dar a entender que no hay $x$ en $A$ para lo cual $P(x)$ falla (véase la página 14 ici ). Entonces queda claro por qué la afirmación $\forall x\in\emptyset\,P(x)$ es siempre cierta, pues se trata de la afirmación de que no hay $x$ en el conjunto vacío $\emptyset$ para lo cual $P(x)$ falla, y como no hay elementos en el conjunto vacío $\emptyset$ la afirmación es cierta, vacuamente.

Pero, hace poco me enteré de que las dos afirmaciones:

(1) $\forall x\in A\,P(x)$
(2) $\forall x(x\in A\implies P(x))$

tienen el mismo significado. Para $A=\emptyset$ (1) y (2) se convierten en:

(1') $\forall x\in\emptyset\,P(x)$
(2') $\forall x(x\in\emptyset\implies P(x))$ .

Como se ha visto antes, (1') es cierta. Pero no me queda claro por qué (2') es cierta. Para explicar esto, alguien podría decir: "afirmar que (2') es falsa es decir que $\exists x(x\in\emptyset\,\land\,\lnot P(x))$ . Como no hay elementos en el conjunto vacío, es imposible demostrar que (2') es falso". Una vez más, respondo ingenuamente: "Puesto que no hay elementos en el conjunto vacío, ¿cómo podemos demostrar que (2') es verdadera?

Creo que el origen de que no me satisfagan las explicaciones de que (2') es cierto es la falta de conocimiento de la afirmación precisa que hace un enunciado condicional. Como se explica en el segundo párrafo, éste era ciertamente el problema cuando intentaba comprender por qué (1') es verdadera, pero una vez que comprendí con precisión el significado de la afirmación $\forall x\in A\,P(x)$ era fácil comprender por qué. Creo que si alguien pudiera explicar con precisión lo que (2') afirma, concretamente abordando lo que se entiende por un enunciado condicional, entonces sería fácil ver por qué (2') es cierto.

ACTUALIZACIÓN 1:
Debería aclarar algo. Cuando escribí,

Pero, hace poco me enteré de que las dos afirmaciones:
...

Quería decir que me di cuenta de que las afirmaciones (1) y (2) son iguales, pero no entendí por qué. Esto me llevó a buscar información sobre los enunciados universales y los enunciados condicionales universales. Ahora creo que entiendo por qué (1) y (2) son equivalentes. El enunciado condicional universal $\forall x\in U(P(x)\implies Q(x))$ significa que cada objeto $x$ en $U$ que satisfaga $P(x)$ también satisface $Q(x)$ . Si no me equivoco, esta afirmación equivale a $\forall x\in D\,Q(x)$ donde $D=\{x\in U:P(x)\}$ .

Además, después de leer la respuesta de Graham Kemp, concretamente donde escribe,

Como has visto, una afirmación universal queda falseada si podemos presenciar un contraejemplo. Una verdad vacía no se falsifica porque no existen contraejemplos de ningún enunciado en el conjunto vacío.

Consideré (seriamente) la negación de la afirmación $\forall x(x\in\emptyset\implies P(x))$ que es la declaración $\exists x(x\in\emptyset\land\lnot P(x))$ . El predicado, $x\in\emptyset$ es falsa para cualquier valor posible de x. Por lo tanto, el enunciado existencial nunca puede ser verdadero. De ello se deduce que el enunciado original es verdadero, ya que su negación es falsa. Esto es (ahora) absolutamente convincente de que (2') es verdadera.

Sin embargo, ¿es ésta la explicación de que en los enunciados condicionales normales, siempre que el antecedente es falso, la implicación es verdadera? O, ¿el razonamiento para esto proviene de la comprensión del significado preciso del condicional de dos enunciados? La razón por la que pregunto esto es porque he leído que cuando se trata de la verdad vacua de enunciados universales, "necesitamos que la lógica de predicados sea coherente con la lógica proposicional" (véase la página 4 ici ) que sugiere que ya se ha establecido que un enunciado condicional regular es verdadero cuando su antecedente es falso.

ACTUALIZACIÓN 2:
Esto es en respuesta al último párrafo de UPDATE 1. Para entender por qué el condicional de dos enunciados es verdadero cuando el antecedente es falso, es necesario comprender su significado preciso. El enunciado condicional "si $p$ entonces $q$ " es la afirmación de que "siempre que $p$ es cierto, $q$ también es verdadera". Por lo tanto, sólo es falsa cuando $p$ es verdadera y $q$ es falso. En símbolos:

$\lnot(p\implies q)\equiv p\land\lnot q$

Dado que una afirmación es verdadera si y sólo si su negación es falsa, tenemos:

$p\implies q\equiv\lnot(p\land\lnot q)$

o,

$p\implies q\equiv\lnot p\,\lor q$

Así, cuando $p$ es falso (lo que significa que $\lnot p$ es verdadero), $p\implies q$ es verdad, vacuamente.

ACTUALIZACIÓN 3 (viernes 15 de enero):
Estoy teniendo un poco de dificultad con el hecho de que cualquier afirmación sobre todos los elementos del conjunto vacío $\emptyset$ es vacuamente cierto. Por ejemplo, entiendo completamente y estoy de acuerdo con el hecho de que $\emptyset\subset A$ donde $A$ es cualquier conjunto no vacío (es decir, $\forall x\in\emptyset :x\in A$ es una afirmación verdadera). Pero la afirmación $\forall x \in\emptyset : x\notin A$ ¿También es cierto?

Supongo que mi pregunta es, ¿pueden ambas afirmaciones $\forall x\in\emptyset : p(x)$ y $\forall x\in\emptyset : \lnot p(x)$ ser verdad?

respuesta a zeroxlr:
Supongo que lo que busco es cómo explicar esto con confianza a otra persona.

Estoy de acuerdo y entiendo que la negación de la afirmación (1) $\forall x\in\emptyset : p(x)$ es no (2) $\forall x\in\emptyset : \lnot p(x)$ . La negación de (1) es la afirmación $\exists x\in\emptyset :\lnot p(x)$ lo que, por supuesto, nunca es cierto. Por lo tanto, (1) es siempre cierto y así es como demostramos que el conjunto vacío $\emptyset$ es un subconjunto de cualquier conjunto $A$ .

Entonces, ¿tendría razón si dijera que, puesto que las afirmaciones (1) y (2) son ambas verdaderas, todos los elementos del conjunto vacío satisfacen ambas $p(x)$ y $\lnot p(x)$ ? Y por supuesto, si tomamos $p(x)$ : $x\in A$ esto significa que $\emptyset\subset A$ .

Answer 1

Como se ha visto antes, (1') es cierto. Pero no me queda claro por qué (2') es cierta.

Estas afirmaciones tienen el mismo mismo significado.   La primera es simplemente una expresión abreviada.

$\forall x {\in}\varnothing\; P(x)$ "todo en el conjunto vacío satisface el predicado"

$\forall x\; \big(x\in\varnothing \to P(x)\big)$ "si alguna cosa está en el conjunto vacío, entonces que la cosa satisfará el predicado".

Como has visto, una afirmación universal queda falseada si podemos presenciar un contraejemplo.   Una verdad vacua no se falsifica porque no hay contraejemplos para cualquier existen en el conjunto vacío.

Esto también puede explicarse así:   Una implicación se considera verdadera si el antecedente es falso o el consecuente es verdadero.   Dado que el antecedente ( $x\in \varnothing$ ) es nunca verdadera, por lo que la implicación siempre se cumple, independientemente del consecuente.   Por lo tanto, no pueden existir contraejemplos a una implicación de esa forma.

Answer 2

Esta respuesta se refiere a su ACTUALIZACIÓN 3 (vie 15 ene):

Cuando decimos $x \in \emptyset \implies P(x)$ o $(\forall x \in \emptyset) P(x)$ es cierto una cosa importante a tener en cuenta es esto: estamos afirmando que toda la declaración es cierto. Somos no afirmando la verdad del justo $P(x)$ de forma aislada. Por ello $(\forall x \in \emptyset) P(x)$ y $(\forall x \in \emptyset) \neg P(x)$ pueden ser ambas verdaderas al mismo tiempo aunque ambas $P(x)$ y $\neg P(x)$ ciertamente no puede ser verdad en la lógica clásica.

Para ayudarle a aclarar su confusión, considero el caso en que $P(x) \equiv x \in A$ como en su pregunta. Es posible que todavía esté desconcertado por el hecho de que si $(\forall x \in \emptyset) x \not\in A$ también es cierto como acabo de decir, ¿cómo podemos seguir afirmando que $\emptyset \subseteq A$ ? Aquí es donde hay que tener en cuenta la afirmación $(\forall x \in \emptyset) x \not\in A$ en su conjunto: la negación de $(\forall x \in \emptyset) x \in A$ (es decir $\emptyset \subseteq A$ ) es no $(\forall x \in \emptyset) x \not\in A$ . Es $(\exists x \in \emptyset) x \not\in A$ que es una afirmación sutilmente diferente: hay que demostrar la existencia de un $x$ que está simultáneamente en $\emptyset$ pero no en $A$ . Pero claro, ¡eso no se puede hacer!

EDIT: Respuesta a su respuesta:

Sí, todos los elementos del conjunto vacío (¡que no hay ninguno!) satisfacen efectivamente $p(x)$ y $\neg p(x)$ para cualquier proposición $p(x)$ donde $x$ es una variable ficticia. Esto habría sido contradictorio si sólo pudiéramos identificar concretamente una de esas $x$ . Pero como no podemos, $x$ seguirá siendo una variable ficticia que hace referencia a elementos que en realidad no existen.

En una nota ligeramente no relacionada pero esclarecedora, me gustaría decir una última cosa: Confusiones como éstas surgen, en general, cuando mezclamos los significados habituales de frases como "para todos" y "existe" en el lenguaje natural con las mismas frases en matemáticas. Los significados están indudablemente relacionados, pero hay sutiles diferencias, como en este caso. En inglés normal (a menos que hable con un matemático o un abogado), cuando decimos "for all algo ...", solemos suponer implícitamente la existencia de al menos uno de esos algo . Si no lo asumes, la gente podría pensar que intentas engañarla. En matemáticas, sin embargo, el caso es diferente.

Answer 3

Respondiendo a su última pregunta. Sí, ambas son ciertas. De hecho, $\forall{}x\in\emptyset:1=2$ es cierto.

Sin embargo, prefiero las matemáticas constructivas y, en particular, encuentro que la Interpretación BHK (o la orientación general de la misma) para sentirse cómodo con muchos resultados lógicos. (Y tiene la ventaja de conectar directamente con la computación que los fundamenta fuertemente).

En la interpretación BHK, una prueba de una afirmación $\forall x\in A: P(x)$ es una función que toma un elemento $x$ de $A$ y produce una prueba de $P(x)$ . Del mismo modo, una prueba de una afirmación $P \implies Q$ es una función que toma una prueba de $P$ y produce una prueba de $Q$ . Para contextualizar, una prueba de $P \land Q$ es un par de una prueba de $P$ y una prueba de $Q$ por lo que el teorema $P \land Q \implies P$ es atestiguada por la función $f(p,q) = p$ . Los dos enunciados por los que has preguntado están atestiguados por funciones del conjunto vacío, es decir. $f : \emptyset \to P$ y siempre hay exactamente una función de ese tipo, a saber, la función vacía. En la segunda pregunta, a través de esta interpretación, esto es explícitamente lo que estás pidiendo. En la primera pregunta, es un poco más indirecto, ya que tienes una función $f : x \in \emptyset \to P$ pero como $x \in \emptyset$ es falso, es decir $x \in \emptyset \implies \bot$ ( $\bot$ siendo falsedad), podemos reducir esto a $g : \bot \to P$ y, por definición, el conjunto de pruebas de $\bot$ está vacía. De hecho, para reconstruir la prueba global sólo tenemos que componer, $f = g \circ h$ donde $h : x \in \emptyset \to \bot$ es la prueba de que $x \in \emptyset$ es siempre falso.

Para reiterar, esta interpretación valida la lógica constructiva, pero no la clásica, por lo que algunos resultados clásicos no son demostrables (en particular, cualquiera que implique medio excluido ). Sin embargo, para las cosas demostrables en esta interpretación, las pruebas son mucho más concretas que la pura manipulación de símbolos; se puede ver cómo encajan las piezas. (Las pruebas también son código; puedes ejecutarlas).