Evaluación de una ruta integral

Question

Estoy atascado semanas en la siguiente cálculo a partir de un documento:

Ruta integral de la $I$ es escrito como

$$ I = \int_{\mathbf{r}_0 = \mathbf{0}}^{\mathbf{r}_L=\mathbf{R}}\exp\left[-A\int_0^L\dot{\mathbf{r}}_t^2\,dt+\frac{i\eta}{2L^2}\int_0^L\int_0^L (\mathbf{r}_t-\mathbf{r}_s)^2\,ds\,dt\right]{\cal D}\mathbf{r}.$$

Dado que la contribución de la ruta de $\mathbf{r}_t$ $I$se convierte en algo más dominante al $\mathbf{r}_t$ hace que el exponente estacionario, contamos $\mathbf{r}_t$ como la solución de la siguiente Euler-Lagrange ecuación sujeta a las condiciones de frontera,$\mathbf{r}_0 = \mathbf{0}$$\mathbf{r}_L = \mathbf{R}$:

$$\ddot{\mathbf{r}}_t + \alpha^2\mathbf{r}_t - \beta\int_0^L\mathbf{r}_s\,ds=0,$$ donde$\alpha^2 = \dfrac{i\eta}{AL}$$\beta = \dfrac{i\eta}{AL^2}$. Con esta solución, $I$ se expresa como $$I = \exp(-A\mathbf{r}_L\dot{\mathbf{r}}_L).$$

Yo no tengo ningún problema con el de Euler-Lagrange ecuación pero no puede obtener la última expresión. Que alguien me ayude a salir de esta?

Answer 1

Asumo los límites de la integral con respecto a $s$ también $0$$L$.

En primer lugar, hemos de integrar el primer término dentro de la exponencial por partes. Tenemos

$$-A\int_0^L \dot{\mathbf{r}}_t^2 dt = \left[ -A\mathbf{r}_t \dot{\mathbf{r}}_t \right]_0^L +A\int_0^L \mathbf{r}_t \ddot{\mathbf{r}}_t dt = -A\mathbf{r}_L \dot{\mathbf{r}}_L +A\int_0^L \mathbf{r}_t \ddot{\mathbf{r}}_t dt,$$

desde $\mathbf{r}_0 = 0$.

A continuación, nos ampliar la plaza dentro del segundo plazo. Tenemos

$$\frac{i\eta}{2L^2} \int_0^L \int_0^L \left( \mathbf{r}_t^2 + \mathbf{r}_s^2 - 2\mathbf{r}_t\mathbf{r}_s \right) ds\: dt.$$

El $\mathbf{r}_t^2$ plazo no depende de $s$, de modo que se puede integrar con respecto a $s$ obteniendo un factor de $L$. Como para el $\mathbf{r}_s^2$ plazo, podemos cambiar las variables ficticias $s$$t$, por lo que se vuelve idéntico a la $\mathbf{r}_t^2$ plazo. Con las definiciones de $\alpha$$\beta$, llegamos a

$$\frac{i\eta}{2L^2} \int_0^L \left( L \mathbf{r}_t^2 + L \mathbf{r}_t^2 - 2\mathbf{r}_t \int_0^L \mathbf{r}_s ds \right) dt = \int_0^L \mathbf{r}_t \left(A\alpha^2 \mathbf{r}_t -A\beta \int_0^L \mathbf{r}_s ds \right) dt.$$

Finalmente, poniendo todo junto nos encontramos con que toda la expresión en el interior de la exponente es

$$-A\mathbf{r}_L \dot{\mathbf{r}}_L + A \int_0^L \mathbf{r}_t\left(\ddot{\mathbf{r}}_t + \alpha^2 \mathbf{r}_t -\beta \int_0^L \mathbf{r}_s ds \right) dt.$$

La expresión dentro de los paréntesis claramente se desvanece para el "clásico" ruta de acceso de la satisfacción de Euler-Lagrange ecuación. Dado que sólo estamos considerando esta ruta de acceso de la contribución de la ruta integral, llegamos a la solución deseada

$$I=\exp(-A\mathbf{r}_L \dot{\mathbf{r}}_L).$$

Answer 2

Una cosa que podemos hacer es resolver el E-L DE. Si nos diferencian w.r.t. $t$, y el sustituto de la $\mathbf{x}=\dot{\mathbf{r}}_t$, se consigue simplemente $\ddot{\mathbf{x}}+\alpha^2\mathbf{x}=0$, la solución de los cuales es $\mathbf{x}=B\cos(\alpha t)+C\sin(\alpha t)$. La integración de conseguir $\mathbf{r}_t$ rendimientos $$\mathbf{r}_t=\frac{B}{\alpha}\,\sin(\alpha t)-\frac{C}{\alpha}\,\cos(\alpha t)+D.$$ Ahora se impone tres condiciones en $\mathbf{r}_t$ a de conseguir los tres constantes: $\mathbf{r}_0=0,\;\mathbf{r}_L=\mathbf{R},$ y la E-L DE sí mismo. Esto impone \begin{align*} D-\frac{C}{\alpha}&=0 \\ \frac{B \sin (\alpha L)-C \cos (\alpha L)+\alpha D}{\alpha}&=\mathbf{R} \\ \frac{\alpha^4 D-\beta \left(\alpha^2 D L+B\right)+B\,\beta \cos (\alpha L)+C \beta \sin (\alpha L)}{\alpha^2}&=0, \end{align*} la solución de los cuales es \begin{align*} B&= -\frac{\alpha \mathbf{R} \csc ^2\left(\frac{\alpha L}{2}\right) \left(\alpha^3-\alpha L \beta+\beta \sin (\alpha L)\right)}{-2 \alpha \cot \left(\frac{\alpha L}{2}\right) \left(\alpha^2-L \beta\right)-4 \beta},\\ C&= \frac{\alpha \mathbf{R} \beta (\cos (\alpha L)-1)}{\alpha \sin (\alpha L) \left(L \beta-\alpha^2\right)+2 \beta (\cos (\alpha L)-1)},\\ D&= \frac{\mathbf{R} \beta (\cos (\alpha L)-1)}{\alpha \sin (\alpha L) \left(L \beta-\alpha^2\right)+2 \beta (\cos (\alpha L)-1)}. \end{align*} Usted puede comprobar y ver que se soluciona de esta forma las dos condiciones de frontera, además de la E-L DE.

Pero aquí está el problema: la forma en que se ha definido $I$, hay una integral indefinida w.r.t. $s$ enterrado allí, mientras que $I=\exp(-A\mathbf{r}_L\dot{\mathbf{r}}_L)$ es una constante. ¿Estás seguro de que es correcto? Esperemos que, a mi de la solución de la DE empuje a lo largo de un poco.

Did you mean $$\int_0^L\left[\int(\mathbf{r}_t-\mathbf{r}_s)^2\,ds\right]\Bigg|_{s=t}\,dt$$ dentro de la exponencial?