Estaba tratando de probar si $l=m$ y $m=n$ entonces $l=n$ pero al hacer esto tuve que agregar $-m$ a ambos lados de las ecuaciones. Creo que no es apropiado proceder sin probar "si $a=b$ entonces $a+c=b+c". ¿Alguien puede ayudar? He intentado de muchas maneras pero cada vez fracasé.
nota: en este contexto al probar $a=b \implies a+c=b+c$ no se puede usar $l=m$ y $m=n \implies l=n
Aquí está la cosa, si estás comenzando desde $\mathbb R$ definido por los axiomas de un campo ordenado completo, o incluso solo los axiomas de un campo, hay dos operaciones que están definidas en $\mathbb R$, la suma y la multiplicación. Por definición de operación binaria, $+\colon \mathbb R\times\mathbb R\to \mathbb R$ es una función. Se sigue que para todo $c\in\mathbb R$, $f_c\colon \mathbb R\to\mathbb R$, $f_c(x) = x + c$ también es una función. Ahora recuerda que una de las propiedades definitorias de una función es la siguiente $$a = b\implies f(a) = f(b)$$ y aplícalo a $f = f_c$ para obtener lo que quieres. Así, ya está codificado en los axiomas simplemente al decir que $+$ es una operación binaria. Lo mismo vale para la multiplicación.
Estaba pensando en esto. $l=m$ $m=n$ implica $l=n$ para $l,m,n \in \mathbb R$. Sé que esto cae bajo nociones comunes en los Elementos de Euclides. y como es una noción común, nadie quiere probarlo. pero esta es la propiedad transitiva de la igualdad. así que intenté probarlo por axiomas de campo. pero entonces vino esto y también es una noción común en el libro. le pregunté esto para saber si es posible probar esto sin usar esas nociones comunes.
"Ahora recuerda que una de las propiedades definitorias de una función..." No recuerdo eso como una propiedad definitoria de una función. Incluso encuentro un poco extraño el término 'propiedad definitoria'. Además, la implicación que has escrito se presenta como demostrable sin usar tanto la definición de una función en una prueba.
@Doug, es posible que desees consultar https://es.wikipedia.org/wiki/Función_(matemáticas)#Definición entonces.
La igualdad tiene la propiedad de que se puede reemplazar una mitad de la igualdad con la otra mitad en cualquier término donde el orden de las operaciones esté claro. Voy a llamar a esto la propiedad de reemplazo de la igualdad.
Supongamos que a = b. Entonces, por la propiedad de reemplazo de la igualdad, específicamente reemplazando la 'b' por 'a', se sigue que a = a. Ahora 'a' era un número real arbitrario. Por lo tanto, para cualquier número real x,
x = x.
Dado que '+' es una operación, (a + c) es algún número real. Por el lema x = x, se deduce entonces que
(a + c) = (a + c).
Usando la propiedad de reemplazo de la igualdad y la hipótesis se obtiene el resultado de la pregunta.
La propiedad de reemplazo de la igualdad también basta para probar que si "l = m y m = n, entonces l = n".
Entonces, demostrar el hecho de que $(l = m \land m = n) \implies l = n $ no requiere saber nada acerca de $+$, es la propiedad transitiva de la igualdad, la cual es un axioma.
De todas formas, vamos a demostrar la afirmación en el título.
Entonces, tenemos tres variables, todas cuantificadas universalmente.
$$ (a = b) \implies (a + c = b + c) \;\forall a \forall b \forall c $$ $$ (a \ne b) \lor (a + c = b + c) \;\forall a \forall b \forall c $$
Niega el objetivo.
$$ (a = b) \land (a + c \ne b + c) \;\exists a \exists b \exists c \tag{NG}$$
Podemos añadir tres constantes a nuestro contexto. Nota que al hacerlo estamos extendiendo la teoría de los números reales para incluir tres nuevas constantes $a, b, c$ que satisfacen colectivamente la propiedad que queremos.
$$ a = b \;\; \text{y} \;\; a+c \ne b + c\tag{101} $$
$$ a = b \tag{102} $$
El paso $102 \to 103$ solamente requiere notar que $t \mapsto t + c$ es una función. Toda función preserva las igualdades. Una función no inyectiva puede introducir nuevas igualdades, pero ninguna función puede eliminarlas.
$$ a + c = b + c \tag{103} $$
Elige la expresión izquierda de (101).
$$ a + c \ne b + c \tag{104} $$
(104) es la negación (103) sintácticamente.
$$ \bot $$
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No necesitas demostrar esto. O más bien, debes demostrar esto usando la definición de función, no el axioma de campo.
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Sí. Usando la definición de relaciones demostrando $l=m$ y $m=n \implies l=n$ es posible. ¿Esto significa "si $a=b$ entonces $a+b=b+c$"?
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es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_los_indiscernibles
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En qué contexto desea probar que $l = m$ y $m = n$ implica $l=n$? Por lo general, las teorías matemáticas ya vienen equipadas con la "igualdad", lo que significaría que lo que estás probando se da automáticamente. Sin embargo, depende del contexto particular, así que por favor inclúyelo si desea ayuda concreta.
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@Ennar Estaba pensando en esto. $l=m$ $m=n$ implica $l=n$ para $l, m, n \in \mathbb R$. Sé que esto entra en las nociones comunes en los Elementos de Euclides. y dado que es una noción común, nadie quiere probarlo. pero esta es la propiedad transitiva de la igualdad. así que intenté probarlo por axiomas de campo. pero luego vino esto y también es una noción común en el libro. pregunté esto para averiguar si es posible probar esto sin usar esas nociones comunes.
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@thomson, si por "nociones comunes" te refieres a términos indefinidos, entonces toda teoría necesariamente los tiene, de lo contrario tendrías definiciones circulares en alguna parte, las cuales se consideran inválidas. En tu caso, los números reales se definen como campo ordenado completo. Observa la parte "ordenado": eso significa que tienes un orden lineal $\leq$ definido en $\mathbb R$ y en particular la noción de igualdad. Por lo tanto, la transitividad de la igualdad ya está incorporada. En caso de que estuvieras construyendo los reales a partir de los números racionales, tendrías algo que probar.
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Es posible que te interese la construcción de los números reales.