Hay un Gronwall del tipo de desigualdad o ODE lema sobre la siguiente desigualdad $$ \frac{d}{dt}f(t)\leq g(t)f^4(t) + \gamma(t)$$ where $f$, $g$ and $\gamma$ are three continuous non-negative real valued functions whenever $t$ in $(0,T)$. Si existen tales lema o Gronwall como la desigualdad, por favor, cual es?
Respuesta
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Deje $s(t)$ ser una solución exacta con valor inicial $s(0)=f(0)+\varepsilon$, $ε>0$ algunos pequeños constante. Suponga que $f(t)< s(t)$ no se cumple para todos los tiempos. Deje $\tau$ ser la primera vez de modo que $f(τ)=s(τ)$. Entonces $$ 0=s(τ)-f(τ)=ε+\int_0^tg(t)\left(s(t)^4-f(t)^4\right)\,dt\ge ε>0. $$ Como esto es una contradicción, no $τ$ existe y por lo tanto $f(t)< s(t)$ tiene para todos los $t>0$ donde $s(t)$ es finito. Por la continuidad, $f(t)\le s(t)$ también se aplica a la solución exacta $s$$ε=0$.
Debido a la no linealidad, muy probablemente habrá un polo de $s$ en un tiempo finito, como $$ s'(t)\ge g(t)s(t)^4\implica s(t)^{-3}-s(0)^{-3}\le -3\int_0^tg(s)ds\\ \implica s(t)\ge \frac{s(0)}{\sqrt[3]{1-3(0)^3\int_0^tg(s)ds}} $$ y si $\int_0^tg(s)ds$ crece sobre el enlazado $\frac13s(0)^{-3}$, hay un poste en $s$ antes de que el obligado se ve superado. Después de que el polo de $s$, $f$ todavía puede existir, pero no está limitada a ser el diferencial de la desigualdad.
