Límite de los autovalores de una matriz de secuencia.

Question

Supongamos $H$ $n\times n$ simétrica positiva definida la matriz, $M_k$ es una secuencia de $n \times n$ matriz (no necesariamente simétrica) tal que $M_k \to O$ donde $O$ es la matriz cero. Deje $\lambda_i(H),i=1,...,n$ el valor del $i$th mayor autovalor de a $H$. Mi pregunta es, ¿es cierto que $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \lambda_i (H + {M_k}) = \lambda_i (H),i=1,...,n$?

Si esto no es cierto para todos los $i$, es cierto para $i=1$ (mayor autovalor) y $i=n$ (el menor autovalor)? (Mi aplicación solo necesita de esta para que la mantenga)

Cualquier explicación, contraejemplo o de referencia es útil. Gracias!

Answer 1

El problema no está bien planteado. De hecho, los autovalores de a $H+M_k$ no son necesariamente reales. ¿Qué es $\lambda_i(H+M_k)$ ?

A grandes rasgos, el resultado es cierto para cualquier matrices (cf. el Berci del comentario). Más precisamente,

Deje $(A_k)_k$ ser una secuencia de matrices de $\in M_n(\mathbb{C})$ que converge a $A\in M_n(\mathbb{C})$. A continuación, hay órdenes de $spectrum(A_k)=(\lambda_{k,i})$ e de $spectrum(A)=(\lambda_i)$ s.t., para cada $i$, $(\lambda_{k,i})_k$ tiende a $\lambda_i$.