Extraño límite con $e^x$

Question

Aquí un límite que es la prueba de mis puntos fuertes.

$$\lim\limits_{x\to -\infty} [(x^2+1)e^x]$$

Trabajo Personal:

$$\lim\limits_{x\to -\infty} [(x^2+1)e^x] = \lim\limits_{x\to -\infty} (x^2e^x+e^x) = \lim\limits_{x\to -\infty} (x^2e^x)=L.$$

Deje $x^2=u \iff x=-\sqrt u$, $u_0=\lim\limits_{x\to+\infty}{x^2}=+\infty$

Por eso, $$ L=\lim\limits_{u\to+\infty}{(u*e^{-\sqrt u})} =...$$

Aunque parece correcto para mí, tanto Microsoft matemáticas y symbolab muéstrame la respuesta "$0$" entonces, ¿qué estoy haciendo mal?

Answer 1

SUGERENCIA

Deje $y=-x\to \infty$, luego

$$\lim\limits_{x\to -\infty} [(x^2+1)e^x]=\lim\limits_{y\to \infty} [(y^2+1)e^{-y}]=\lim\limits_{y\to \infty} \frac{y^2+1}{e^{y}}$$

Answer 2

Escriba su límite en la forma $$\frac{x^2+1}{e^{-x}}$$ y el buscado límite es cero

Answer 3

Una aproximación heurística es mantener en mente que a $\pm\infty$ la exponencial es más fuerte que cualquier polinomio. Esto significa que para cualquier polinomio $p(x)$ tenemos a los dos límites

$$\lim_{x\to +\infty}{e^x\over p(x)}=+\infty$$

$$\lim_{x\to -\infty}p(x)e^x=0$$

Nuestro problema es que en el segundo caso. Vamos a probarlo. Se puede convencer a sí mismo que si podemos demostrar

$$\forall m\geq 0 \lim_{x\to-\infty} x^me^x=0$$

hemos terminado. (Sí, de hecho, un polinomio es sólo una suma finita de monomials).

Vamos a establecer $u=e^x$ esto significa $x=\ln{u}$$u\to 0$. Nuestro límite vuelve a escribir

$$\lim_{u\to 0}mu\ln{u}=m\cdot \lim_{u\to 0}u\ln{u}=0$$

Answer 4

$$\lim_{x\to -\infty} (x^2+1)e^x=\lim_{x\to \infty} \frac {x^2+1}{e^x}$$

Ahora por L'Hospital tenemos $$\lim_{x\to \infty} \frac {x^2+1}{e^x}=\lim_{x\to \infty} \frac {2x}{e^x}=\lim_{x\to \infty} \frac {2}{e^x}=0$$