¿Qué piensa usted acerca de mi primera prueba que utiliza el principio de buena ordenación? Por favor, marque/grado.
Teorema de
La suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es un múltiplo de 9.
Prueba
Primero, la introducción de un predicado $P$$\mathbb{N}$, podemos reformular el teorema de la siguiente manera. $$\forall n \in \mathbb{N}, P(n) \quad \text{donde} \quad P(n) \, := \, n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 \text{ es un múltiplo de 9}$$ Podemos demostrar el teorema de la contradicción. Para ello, en el paso 1, podemos empezar por asumir que la negación del teorema sostiene. Luego, en el paso 2, se demuestra que algún número natural satisface nuestro predicado. En el paso 3, nos movemos junto con la ayuda del principio de buena ordenación. Finalmente, en el paso 3, se deduce de nuestra contradicción.
Paso 1: Suponiendo que la negación
Podemos suponer que la negación del teorema:
Hay un $n \in \mathbb{N}, \neg P(n)$.
Con eso dicho, hemos terminado tan pronto como una contradicción que se deduce.
Paso 2: la Satisfacción de nuestros predicado
Considerar el número natural $0$.
Desde $0^3 + (0 + 1)^3 + (0 + 2)^3 = 0 + 1 + 8 = 9$, podemos ver que $P(0)$ es cierto.
Paso 3: empleo de los bien-principio de orden
Por nuestra suposición, no es un número natural para los que el predicado es falso.
Así pues, existe un conjunto no vacío de números de este tipo.
Según el principio de orden, el conjunto contiene al menos un elemento de a $k$.
Desde $P(0)$ es cierto, podemos deducir que los $k \ne 0$, más precisamente,$k > 0$.
Por lo tanto, $k - 1$ es un número natural;
y por elección de $k$, $P(k - 1)$ es cierto.
Paso 4: La contradicción
Como $P(k - 1)$ es cierto, existe un número natural $i$ tal que
$$i \cdot 9 = (k - 1)^3 + k^3 + (k + 1)^3\text{.}$$
Utilizamos este hecho en el siguiente equivalente de transformación.
En la transformación, la primera línea no representa un múltiplo de $9$,
desde $P(k)$ es falso; sin embargo, la última línea claramente no representa un múltiplo de $9$.
Esta es nuestra contradicción, lo que completa la prueba.
\begin{align} k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3 &= (k - 1)^3 + k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3 - (k - 1)^3 \\ &= (k - 1)^3 + k^3 + (k + 1)^3 + k^3 + 6k^2 + 12k + 8 - k^3 + 3k^2 - 3k + 1 \\ &= (k - 1)^3 + k^3 + (k + 1)^3 + 9k^2 + 9k + 9 \\ &= 9i + 9k^2 + 9k + 9 \\ &= 9 \cdot (i + k^2 + k + 1) \end{align}
