Diffeomorphism entre un submanifold de $\mathbb{R}^4$ $\mathbb{S}^2$

Question

Problema 5-1 de John Lee la Introducción a la Suave Colectores de pedir que nos muestran que la submanifold $\Phi^{-1}(0,1) \subset \mathbb{R}^4$ es diffeomorphic a $\mathbb{S}^2$ donde $\Phi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2$ está dado por $\Phi(x,y,s,t) = (x^2 + y, x^2 + y^2 + s^2 + t^2 + y)$.

Para mí, parece natural a tratar de mostrar el mapa de $F: \Phi^{-1}(0,1) \to \mathbb{S}^2$ $F(x,y,s,t) = (y,s,t)$ es un diffeomorphism. Sin embargo, la condición de $x^2 + y = 0$ implica que si $(x,y,s,t) \in \Phi^{-1}(0,1)$,$y \leq 0$, por lo que el mapa de $F$ no puede ser surjective.

Cualquier idea es bienvenida!

Answer 1

Tienes razón en que su sugirió mapa de $F(x,y,s,t)=(y,s,t)$ no es surjective. Para tener una idea de cómo arreglarlo, aviso que no es inyectiva, ya que $F(x,y,s,t)=F(-x,y,s,t)$.

La correcta diffeomorphism debería ser $F(x,y,s,t)=(sign(x) \cdot y,s,t)$. Se resuelve tanto sus problemas de surjectivity y de inyectividad. Queda por comprobar que el mapa es suave para los puntos con $x=0$.