Prueba $u$ es una unidad si y sólo si $N(u) = 1$ ?

Question

La norma $N:\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}] \rightarrow \mathbb{N}$ definido por $N(a+b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}) = |a^3 + 2b^3 + 4c^3 - 6abc|$ es multiplicativa. (Ya se ha demostrado). Demuestre que $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ es una unidad si y sólo si $N(\alpha) = 1$ .

Hasta ahora lo he probado en una dirección, pero estoy luchando con la otra.

Prueba $\rightarrow$ Sea $\alpha$ sea una unidad, entonces por definición $\exists \beta$ tal que $\alpha\beta = 1$ . Podemos entonces utilizar la norma, sabiendo que $N(\alpha\beta) = |(1)^3 + 2(0)^3 + 4(0)^3 - 6(1)(0)(0)| = 1$ . Dado que la norma es multiplicativa, $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta) = 1$ y como los resultados de las normas tienen que ser enteros positivos, sabemos que $N(\alpha)=1$ .

Prueba $\leftarrow$ Sea $N(\alpha)$ = 1. Entonces para $\alpha = a+b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}$ , $|a^3 + 2b^3 + 4c^3 - 6abc|=1$

¿Alguna ayuda sobre dónde ir?

Answer 1

$R=\Bbb Z[\sqrt[3]2]$ es un grupo abeliano libre de rango $3$ que es isomorfo como grupo abeliano a $\Bbb Z^3$ . Una base conveniente para ello es $1$ , $\sqrt[3]2$ et $\sqrt[3]4$ .

Si $\alpha\in R$ multiplicación por $\alpha$ determina un endomorfismo de $R$ ; un homomorfismo de grupo de $R$ a $R$ . Podemos representar esto mediante una matriz considerando su acción sobre la base preferida (digamos, $1$ , $\sqrt[3]2$ , $\sqrt[3]4$ ). Entonces $N(\alpha)=|\det A|$ . (Puedes demostrarlo con la fórmula explícita que ya tienes).

Si $N(\alpha)=1$ entonces $\det A=\pm1$ . Un endomorfismo de $\Bbb Z^3$ con determinante $1$ es un automorfismo, por tanto una biyección. En términos de $A$ entonces la multiplicación por $\alpha$ es una biyección. Por lo tanto, existe $\beta\in R$ con $\alpha\beta=1$ .

Answer 2

Sugerencia: si incrusta $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ en $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}, \omega]$ donde $\omega := e^{2 \pi i / 3}$ entonces $$N(a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4}) = \left| (a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4}) (a + b \omega \sqrt[3]{2} + c \omega^2 \sqrt[3]{4}) (a + b \omega^2 \sqrt[3]{2} + c \omega \sqrt[3]{4}) \right|.$$ (Esta expresión está muy inspirada en la definición de norma de la teoría de Galois, de la que su definición está cerca de ser un caso especial).

Ahora, multiplica los dos últimos factores del lado derecho y obtendrás una expresión para $\pm$ de la inversa de $a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4}$ que se encuentra en $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ . (El signo viene determinado por el signo de $a^3 + 2 b^3 + 4 c^3 - 6abc$ .)

Answer 3

El hecho de que $\;N(\alpha)=\pm1\;$ significa que el polinomio mínimo de $\;\alpha\;$ sobre los racionales es de la forma

$$p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x\pm1\;,\;\;a_k\in\Bbb Z$$

Tomando el recíproco del polinomio anterior obtenemos un polinomio que desaparece en $\;\frac1\alpha\;$ (esto es cierto siempre que $\;\alpha\neq0\;$ y estamos trabajando sobre un campo), así $\;\frac1\alpha\;$ es una raíz de

$$f(x)=\pm x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+1$$

y así $\;\frac1\alpha\;$ es un número entero algebraico.

Answer 4

Como menciona DonAntonio, el polinomio mínimo de $\alpha$ es de la forma $$p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x\pm1,\quad a_k\in\Bbb Z$$ Entonces $p(\alpha)=0$ implica $$ \alpha (\alpha^{n-1}+\cdots+a_2\alpha+a_1) = \pm 1 $$ por lo que la inversa de $\alpha$ es $\alpha^{n-1}+\cdots+a_2\alpha+a_1 \in \mathbb Z[\alpha] \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ .

Answer 5

Para $K$ un número campo la norma $N(\alpha)$ de un elemento $\alpha$ de $K$ es el determinante del $\mathbb{Q}$ -mapa lineal $m_{\alpha} :x \mapsto \alpha x$ . Supongamos que $\alpha$ está dentro del anillo de enteros $\mathcal{O}$ de $K$ . En un $\mathbb{Z}$ base de $\mathcal{O}$ el mapa $m_{\alpha}$ tiene una matriz con coeficientes integrales. Por lo tanto $\alpha$ satisface una ecuación de la forma $$\alpha^n - a_1 \alpha^{n-1} + \cdots + (-1)^n a_n= 0$$ con $a_i \in\mathbb{Z}$ . Tenga en cuenta que $a_n= N(\alpha)$ . Supongamos ahora que $N(\alpha)=\pm 1$ . Entonces podemos escribir $$\alpha( \alpha^{n-1} - a_1 \alpha^{n-2} + \cdots) = \pm 1$$ Por lo tanto, la inversa $\alpha^{-1}$ está en $\mathbb{Z}[\alpha]$ y por tanto un número entero.