Mostrar que $[k(t): k(t^4 + t) ] = 4$

Question

Deje $k$ a ser el campo con $4$ elementos, $t$ trascendental sobre $k$, $F = k(t^4 + t)$ y $K = k(t).$ Muestran que $[K : F] = 4.$

Creo que tengo que usar el siguiente teorema, pero yo no soy muy de poner juntos.

Si $P = P(t), Q = Q(t)$ son cero relativamente primer polinomios en $F[t]$ que no lo son tanto constante, $[F(t) : F(P/Q)] = $ max(deg $P$, deg $Q$).

Answer 1

Denotar $s=t^4 + t$. Ahora $t$ es la raíz del polinomio $p=x^4 + x -s$. Para mostrar $p$ irreductible $k(s)[x]$, es suficiente para demostrar que es irreducible sobre $k[s][x]$, ya que el $k[s]$ es un polinomio de anillo. Equivalentemente, $p$ irreductible $k[x][s]$. Pero esto es claro, siendo un monic polinomio de grado $1$.

El general teorema se demuestra de la misma manera.

Answer 2

Todo lo que usted necesita es el correspondiente polinomio irreducible sobre $F$. Denota el elemento especial $t^4+t$ $F$ por la letra $s$, por lo que el $F=k(s)$, usted tiene el polinomio $g(X)=X^4+X-s\in F[X]$. A continuación, $K$ es la división de campo de la $g$$F$; usted necesita sólo verificar que $g$ $F$- irreductible.

Para irreductibilidad, tenga en cuenta que $g$ es lineal como un polinomio en $s$, por lo que sólo factor como una unidad de $k[X]$ veces algo lineal ( $k[X]$ )$s$. Pero las unidades de $k[X]$ son distintos de cero los elementos de la $k$. Por lo $g$ es el mínimo irreductible polinomio para$t$$F$, y que muestra que el campo de extensión de grado es de cuatro.