Evaluar $\int_0^1(x\ln(x))^{50}dx$

Question

Evaluar $$\int_0^1(x\ln(x))^{50} dx.$$

Aquí están mis pasos hasta el momento el uso de diferenciación bajo el signo integral:

$$I(t) = \int_0^1(x\ln(x))^t dx$$ $$I'(t) = \frac d{dt}\int_0^1(x\ln(x))^t dx = \int_0^1\frac \partial{\partial t}(x\ln(x))^t dx = \int_0^1(x\ln(x))^t\ln(x\ln(x)) dx$$

No puedo encontrar una manera de continuar así las sugerencias son apreciados.

Answer 1

Sugerencia. Después de su enfoque de diferenciación bajo el signo integral, tenga en cuenta que $$\int_{0}^{1} x^t (\ln(x))^n \, dx=\frac{d^n}{dt^n}\left( \int_0^1 x^t dx\right)=\frac{d^n}{dt^n} \left((t+1)^{-1}\right).$$

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que es eficiente, de la escuela primaria, y evita la diferenciación en virtud de la integral. Para ello, vamos a proceder.

---

La integral puede ser evaluado directamente por el cumplimiento de la sustitución de $x\mapsto e^{-x/(n+1)}$. El uso de esta sustitución, tenemos para cualquier entero $n\ge 0$

$$\begin{align} \int_0^1 x^n\log^n(x)\,dx&=\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\underbrace{\int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx}_{n!}\\\\ &=\frac{(-1)^nn!}{(n+1)^{n+1}} \end{align}$$

A continuación, vamos a $n=50$.

Answer 3

$$\int_{0}^{1}\! \a la izquierda( x\ln \left( x \right) \right) ^{n}\,{\rm d}x={ \frac { \left( -1 \right) ^{n}n!}{ \left( n+1 \right) ^{n+1}}}$$