Es el Producto Escalar Definición en mi libro de malo?

Question

En Rainer Kress es el libro "lineal de ecuaciones integrales" (2ª edición) en la página 9 dice:

Definición 1.19 sea X un complejo (o real) de espacio lineal. A continuación, una función de $(\cdot , \cdot): \rightarrow X \times X \rightarrow \mathbb{C}\; (or \mathbb{R})$ con las propiedades.
(H1) $(\varphi, \varphi) \geq 0 $ (positividad)
[...].
para todos los $\varphi \in X$ se llama producto Escalar.

Ahora, si la asignación va de $X\times X$$\mathbb{C}$, tendremos que comparar los números imaginarios con la > relación, que no es posible para mi conocimiento. Es este un error en el libro, o ¿me olvido de algo?

Edit: perdón por mi formato, estoy escribiendo esto en mi teléfono

Aclaración ¿Por qué hacemos un mapa de $X \times X \rightarrow \mathbb{C}$ en el primer lugar si nos supone implícitamente que es real de todos modos. Esto puede resultar confuso.

Resultado Mi confusión vino, que yo pensaba que de un mapeo de ser un producto Escalar, que resultó no fue.

Answer 1

Sin contexto, es difícil decir si puede haber sido un error. Sin embargo, si se hace correctamente, una de las otras propiedades de $(\cdot, \cdot)$ va a ser el hecho de que $(\phi, \psi) = \overline{(\psi,\phi)}$, donde la línea que denota el complejo de la conjugación. En particular, usted tiene que $(\phi,\phi) = \overline{(\phi,\phi)}$ e lo $(\phi, \phi)$ es siempre real.

Alternativamente, para los números complejos $\alpha$, se puede interpretar $\alpha \geq 0$ con el significado de "$\alpha$ es real, y además $\alpha \geq 0$".

Answer 2

Es correcto, porque los únicos elementos de $\mathbb C$ para que la relación $\geq$ está definido son números reales. Por lo tanto, la declaración de $$z\in\mathbb C\land z \geq 0$$ is equivalent to the statement $$z\in\mathbb R \land z\geq 0.$$

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Softonic no supone implícitamente que la asignación es real. Sólo suponemos que $(\phi, \phi)$ es verdadera para todos los valores de $\phi$, no se que $(\phi, \psi)$ es verdadera para todos los valores de $\phi,\psi$.

Por ejemplo, la asignación de $$(.,.):\mathbb C^2\to \mathbb C\\ (z,w)\mapsto z\cdot \overline w$$

es un producto escalar, y $(z,z)$ es siempre real, sin embargo $(i,1)$ es no real.

Answer 3

De ello se deduce implícitamente que el $(\phi,\phi)$ debe ser un número real y ser $\ge 0$ al mismo tiempo. Esto está implícito aquí. Wikipedia es un poco más explícito.

Answer 4

Producto por un escalar es, como el nombre implica, un producto cuyo resultado es un escalar. Si X es un complejo espacio lineal, entonces el espacio de escalares será el de los números complejos, de modo que el producto escalar se asignan a los números complejos. Así que el codominio del producto escalar será el conjunto de los números complejos, incluso a pesar de la autonomía de los números reales positivos para un vector con la misma.