De "mínimos Cuadrados" de la Delta de Dirac?

Question

Es bien sabido que la primera $N$ términos de una serie de Fourier de una función par $f$ corresponde a la aproximación de mínimos cuadrados de $f$ $[-\pi,\pi]$ el uso de las funciones de $S = \{1,\cos(x), \cos(2x),\dots,\cos(Nx)\}$.

El método de mínimos cuadrados no tiene sentido para aproximar la función delta, ya que

$$\int_{-\pi}^\pi(f(x)-\delta(x))^2\,dx$$

diverge. Sin embargo, la serie de Fourier técnica puede aproximar esta distribución sin problema. Por otra parte, uno puede llenar la de mínimos cuadrados de la matriz con los valores de la aproximación de la función delta. En qué sentido, entonces, es la serie de Fourier la aproximación de la función delta? Hay una generalización de los "mínimos cuadrados" que va a cuantificar cómo cerrar una función es la función delta?

Answer 1

Supongamos que $$S_N(x) = \sum_{n=0}^N a_n \cos(nx) $$ and $g$ is an even function with period $2\pi.$

Supongamos que los coeficientes de $a_n,\, n=0,\ldots , N$ son elegidos de que $$ \int_{-\pi}^\pi g(x)\cos(nx) \,dx = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi S_N(x) \cos(nx)\, dx \tag 1 $$ para $n=0,\ldots,N.$ Si $(1)$ sostiene, a continuación, $S_N$ $N$th-grado de Fourier series de aproximación a $g.$

Si $g$ es la función delta, entonces la integral de la izquierda en $(1)$ $1.$ En la integral a la derecha de cada término se integra a $0$ a excepción de la $n$th plazo, y que se integra a $a_n.$ por lo Tanto $a_n=1$ si $S_N$ $N$th-grado de la serie de Fourier de la aproximación de la función delta.

Hay un cierto sentido en el que esto minimiza la integral del cuadrado de la discrepancia entre lo finito trigonométrica de la serie y $\delta.$ Supongamos que nos vamos a \begin{align} \delta(x) & = \sum_{n=0}^\infty \cos(nx) \\ S_N(x) & = \sum_{n=0}^N \cos(nx) \\ g(x) & = \sum_{n=0}^N b_n \cos(nx) \end{align} Entonces $$ g(x) - \delta(x) = \Big(g(x) - S_N(x)\Big) + \Big(S_N(x) - \delta(x)\Big) $$ y $$ \underbrace{(g(x) - \delta(x))^2} = \Big(g(x) - S_N(x)\Big)^2 + {} \underbrace{\Big(S_N(x) - \delta(x)\Big)^2} {} + \Big(\text{algo cuya integral es $0$}\Big) $$ Las integrales de los dos términos, más de la $\underbrace{\text{underbraces}}$ son infinitas. Pero el primer término de la derecha es finito y se hizo tan pequeño como sea posible, de hecho se hace igual a $0,$ hacer $b_n=1$ $n=0,\ldots,N.$ En otras palabras, que parte de la integral de la plaza de la discrepancia que puede ser alterado por la alteración de la primera $N$ coeficientes se hizo tan pequeño como sea posible, haciendo los coeficientes igual a $1.$

(¿Cómo, si es posible, para hacer esto lógicamente rigurosa es más de lo que le intento decir en este punto.)

Answer 2

Usted puede pensar en la función delta y la función de comparar a ambos de una manera lineal funcionales en algunos fijos normativa espacio, por lo que están equipadas con una norma de que el espacio dual. Por ejemplo, aunque no se puede pensar de $\delta$ como un funcional lineal en $L^2$, es un funcional lineal en el espacio de Sobolev $H^1=W^{1,2}$, debido a la incrustación de Sobolev implica que $H^1$ funciones en una dimensión son funciones continuas. Por lo tanto usted puede medir la distancia entre cualquiera limitada lineal funcional en $H^1$ $\delta$ a través de la norma en el doble de $H^1$ como este:

$$\| f - \delta \| := \sup_{\| g \|_{H^1}=1} |f(g)-\delta(g)|.$$

Answer 3

En crudo términos físicos es el Principio de la Energía expresada por el Teorema de Parseval que diga "cómo cerca/lejos" dos señales son unos de los otros. Y que es bastante intuitivo.

Si usted toma el espectro de frecuencias de las dos señales, entonces su diferencia es el espectro de la diferencia entre las señales ("error"). La suma/integral de la plaza de la que es proporcional a la energía/el poder de la "error" de la señal.

La función delta tiene un espectro plano con amplitud unitaria, y el conjunto $\{\cos {(kx)}\quad |0 \le k \le N \}$ tiene una unidad de espectro recortan $N$.
La conclusión evidente.

Answer 4

En general, en espacios de Banach $\|u\|=\sup_{\|l\|=1}|\langle l,u\rangle|$, lo que significa que menos plazas solución se da cuenta de $\inf_u\sup_{\|l\|=1}|\langle l,u\rangle|$ donde $l$ ejecuta a través de la unidad de la bola de la doble espacio. Sólo tener $|\langle l,u_n\rangle|$ $0$ para cualquier dual $l$ tiene sentido para los espacios de Sobolev para que $f(x)-\delta(x)$ pertenece, y sus duales, que incluso hace sentido más general localmente convexo espacios para que las distribuciones de pertenecer. Si uno quiere una sola medida de la desviación de Fréchet métrica puede ser utilizado en muchos de los casos (cuando el espacio tiene una contables base de seminorms).

$f(x)-\delta(x)$ pertenece a $H^{-1}$, por ejemplo, de la norma de Hilbert escala de $H^k$. Es sencillo ver que no va a ser la debilidad de la convergencia de la serie de Fourier, es decir, si $l$-s son tomadas de $H^{1}$ (puede no converger por norma en $H^{-1}$ en todos los casos). Como alternativa, se puede utilizar la debilidad de la convergencia de las medidas, su espacio dual a $C^0$. Tanto las convergencias son metrizable (en subconjuntos acotados), véase, por ejemplo, Metrization de la debilidad de la convergencia de firmado de medidas de MO.

Answer 5

En qué sentido, entonces, es la serie de Fourier la aproximación de la función delta? Hay una generalización de los "mínimos cuadrados" que va a cuantificar cómo cerrar una función es la función delta?

Aquí hay dos posibles respuestas:

1. La Delta de Dirac no es una función y no se puede ajustar, por lo que el uso de la $L^2$-norma no tiene sentido. Creo que la mayoría de los espacios naturales de la Delta de Dirac es el espacio de (Radón) medidas: La Delta de Dirac actúa sobre funciones continuas y por lo tanto, es un elemento en el espacio dual de estos, y el doble espacio de las funciones continuas (de fuga en el límite) es, por Riesz-Markov, el espacio de Radón medidas. Esto le da un natural en la norma de trabajo, es decir, a $$ \|f\delta\| = \sup\{\int \phi d(f-\delta)\ :\ \|\phi\|_\infty\leq 1\} $$ donde $\phi$ ejecuta a través de funciones continuas y $\int \phi d(f-\delta) = \int \phi f - \phi(0)$. Este es el Radón-norma en el espacio de las medidas. En realidad, la resolución de la minimización de los problemas que implican el Radón norma es (al menos numéricamente) no es difícil, ya que puedes terminar con un convexo-cóncavo punto de silla problema, en este caso $$ \min_f\max_{\|\phi\|_\infty\leq 1}\int \phi f - \phi(0).$$ Una generalización para fancy "normas" que ha sido vinculado en el Conifold la respuesta. El Wasserstein-1-norma (también llamado doble de Lipschitz de la norma) que se menciona en los enlaces de respuestas cantidad simple para el problema $$ \min_f\max_{\|\phi\|_\infty\leq 1, \|\phi'\|_\infty\leq 1}\int \phi f - \phi(0)$$ es decir, maximizar los más de Lipschitz funciones continuas $\phi$ con constante de Lipschitz $\leq 1$.

2. Si usted insiste en menos plazas, tenga en cuenta que formalmente la expansión de la plaza da $$ \|f\delta\|_2^2 = \|f\|_2^2 - 2\langle f,\delta\rangle + \|\delta\|_2^2. $$ Este último término no tiene sentido, pero queremos minimizar$f$, de todos modos, para que su valor no juega un papel importante. Por lo tanto, nos puede caer. El plazo en el medio hace sentido tan pronto como $f$ es continua y, a continuación, se evalúa a$-2f(0)$, lo que nos puede dar un sentido al menos plazas problema como $$ \min_f \|f\|_2^2 - 2f(0) $$ donde, en su caso, minimizar a través de combinaciones lineales de los cosenos.