Aquí $m$ $n$ son reales constantes. Todas las respuestas son bienvenidos, pero, preferiría uno sin el uso de la máxima puntos.
Respuestas
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Oleg567
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9849
Si $m>0$, $n>0$ y la relación de $\dfrac{m}{n}$ es racional: $$ \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b}, \qquad a,b\in\mathbb{N}, $$ a continuación, la función de $$f(x)=\sin(mx)+\sin(nx)\tag{1}$$ es $T$-periódico, donde $$T = \dfrac{2\pi}{r\cdot GCD(a,b)},\tag{2}$$ donde $r=\dfrac{m}{a} = \dfrac{n}{b}$, e $GCD(a,b)$ significa el máximo común divisor de a $a,b$.
Para ver que la función de $f(x)$ $T$- periódico, calcular el valor de $f(x+T)$:
$$f(x+T) = \\ \sin(ar(x+T))+\sin(br(x+T)) = \\ \sin\left(arx+ar\cdot \dfrac{2\pi}{r\cdot GCD(a,b)}\right)+ \sin\left(brx+br\cdot \dfrac{2\pi}{r\cdot GCD(a,b)}\right) = \\ \sin\left(arx+a_1 \cdot 2\pi\right)+ \sin\left(brx+b_1 \cdot 2\pi\right)= \\ \sin(arx)+ \sin(brx)= \\ f(x),$$ desde $\;a_1=\dfrac{a}{GCD(a,b)}\in\mathbb{N}$, $\;b_1=\dfrac{b}{GCD(a,b)}\in\mathbb{N}$.
Nota: no es la razón para escribir la relación de $\dfrac{m}{n}$ en la forma $\dfrac{m}{n}=\dfrac{a}{b}$ donde $\dfrac{a}{b}$ es irreductible fracción; en este caso la expresión de $(2)$ tendrá forma más simple: $$ T = \dfrac{2\pi}{r}.\la etiqueta{2'} $$
Un poco más complicado es demostrar que la fórmula $(2)$ determina el mínimo valor para el período.
Si la relación de $\dfrac{m}{n}$ es irracional, entonces $f(x)$ no es periódica. Debe haber algunos teoremas relacionados con este tema, pero no recuerdo ninguna.
Intuitivamente, para cualquier número irracional $\alpha=\dfrac{m}{n}$ podemos centrarnos en su continuo fracción y considerar la secuencia infinita de su convergents $\left\{ \dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},\dfrac{a_3}{b_3}, \ldots \right\}$ a ver"casi el periódico' el comportamiento de dicha función $f(x)$.
Actualización: Véase Miqueas's elegante croquis de la prueba en los comentarios (sobre irracional $m/n$).
Para sentir la diferencia entre racionales e irracionales relación $\dfrac{m}{n}$,
considere la posibilidad de $m=6+ \varepsilon$, $n = 2 $, donde $\varepsilon$ es muy pequeña irracional valor.
A continuación, la continuación de la fracción de la relación $\alpha = \dfrac{m}{n}$ tendrá la forma $$[3; c_1, c_2, \ldots ],\tag{3}$$
donde $c_1$ es de un gran número de otros $c_j$ son sólo números enteros positivos.
Aproximadamente, si se considerar $1$st convergente $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{3}{1}$, entonces la función $f_1(x) = \sin(6x)+\sin(2x)$ periodo $\pi$.
Sino que se centran en $c_1$: $2$nd convergente es $\dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{3c_1+1}{c_1}$, y la función $f_2(x)=\sin\left( 6+\dfrac{2}{c_1} \right)x+\sin(2x)$ tendrá plazo,$c_1\pi$.
Si nos centramos en $c_2$, entonces el período de $f_3(x)$ será aún mayor.
Y así, cada paso vamos a tener más y más, período...
En el caso de la si $\varepsilon$ es racional, la continuación de la fracción $(3)$ es finito, por lo que el proceso anterior (de creciente períodos) racional, $\varepsilon$ es finita, luego haremos una parada en ciertos (grande) período.
King Tut
Puntos
149
El período de $\sin(n_1x)$ $T_1 =\tfrac{2\pi}{n_1}$ e de $T_2 =\sin(n_2x)$$\tfrac{2\pi}{n_2}$. Estas son las longitudes en la línea real después de que las funciones de repetición. Para el período combinado, necesitamos el valor más pequeño para que
$$n_1T_1 = n_2 T_2$$
donde $n_1, n_2 \in \Bbb Z$. Así como Oleg dijo, necesitamos $\tfrac{T_1}{T_2} \in \Bbb Q$ de la suma a ser periódica.
