No distributiva campos?

Question

Estoy pensando en la construcción de una estructura que "obedece" a todos los axiomas de un campo a excepción de un axioma de distributividad de la multiplicación sobre la adición, y no estoy seguro de que es eso posible?

Quiero decir, debería ser posible, ya que, parece que un axioma de distributividad no es necesariamente redundante en el sentido de que es implícita por otros axiomas de un campo.

Pero realmente estoy realmente seguro.

¿Tienes algún lugar ya un ejemplo de una estructura de este tipo, se podría incluso algunos familiares de campo con la adición y la multiplicación especialmente definida para satisfacer el propósito.

Answer 1

Sin distributiva axioma, no hay ninguna conexión entre la adición y la multiplicación de las operaciones en todo (aparte de que son definidos en el mismo conjunto). Por lo tanto, puede tomar cualquier conjunto $S$ o de la consideración de abelian estructura de grupo en la $S$, en todos los como y los abelian estructura de grupo en la $S\setminus\{0\}$ a todos como la multiplicación (y $0$ veces nada es $0$). O, el grupo multiplicativo de la estructura podría incluir $0$, $0$ tener una inversa, mientras $0$ no es la identidad multiplicativa.

Para un ejemplo claro, por ejemplo, vamos a $S=\{0,1\}$, con la adición de ser el habitual, además de mod $2$, y la multiplicación de ser, además de mod $2$ con los roles de $0$ $1$ intercambia (así $0\cdot 0=1$, $0\cdot 1=0$, $1\cdot 1=1$). Esto luego que satisfaga a todo el campo axiomas excepto la distributividad.

Para otro ejemplo, usted podría dejar el $S$ ser un conjunto con $6$ elementos, además de tener la estructura de $\mathbb{Z}/6$ y la multiplicación de cero los elementos con la estructura de $\mathbb{Z}/5$ (e $0$ veces nada es $0$). Esto no puede ser un campo dado que no hay ningún campo con $6$ elementos, pero que satisface todos los axiomas, excepto la distributividad.

Answer 2

Hay varias familias de estructuras algebraicas que son "casi" campos.

1. Sesgar los campos (también conocido como la división de los anillos) cumplir todas las condiciones de un campo, excepto que la multiplicación no es necesario ser conmutativa. Si tenemos un número finito de estructura, no hay sesgo campos que no son en realidad campos.
2. Cerca de campos de satisfacer todas las condiciones de un sesgo de campo, excepto que se requiere sólo una de las leyes distributiva.
3. Semifields satisfacer todas las condiciones de un sesgo de campo, excepto para la asociatividad de la multiplicación.
4. Quasifields (como se ha mencionado por Berci) son esencialmente el más débil de los lotes: no están obligados a tener la asociatividad de la multiplicación, y sólo están obligados a tener una de las leyes distributiva.

Estos son todos interesantes a considerar como finito de estructuras, porque nos hacen tener trivial ejemplos de finito cerca de/semi/quasifields. Hay incluso finito semifields con conmutativa de la multiplicación que no son ejemplos de campos finitos.

El más pequeño ejemplo de un campo cercano tiene orden de 9, y es debido a Hall. Tomamos un polinomio irreducible de $\mathbb{F}_{3}$, decir $f(x) = x^{2}+x+2$. Utilice esta opción para definir una nueva multiplicación en $\mathbb{F}_{3}^{2}$ por $$(x_{1},y_{1})\cdot(x_{2},0) = (x_{1}x_{2}, y_{1}x_{2}),$$ y $$(x_{1},y_{1})\cdot(x_{2},y_{2}) = (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}^{-1}f(x_{2}), x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}+2y_{1}).$$ (2 como coeficiente en el último término proviene de la polinomio $f(x)$, si $f(x) = x^{2}+ax+b$, que el coeficiente de es $-a$.)

Answer 3

Quasifields no son conmutativos y obedecen la distributividad sólo en un lado. Que surgen en el estudio de (finito) planos proyectivos.

De hecho, hay muchos irregular proyectiva aviones que inducen campo irregular-como la estructura.
Brevemente, quitar una línea en el plano proyectivo y respecto de la "línea al infinito', a continuación, fije una línea, en la cual fácil construcciones geométricas - el uso de parallels - conducir a una 'suma' y una 'multiplicación', que en general pueden satisfacer sólo algunos relajado versiones de algunas de campo axiomas.