¿Esto prueba que la derivada de$\ln(x)$ es$1/x$ correcta?

Question

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln x &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(\frac{x + h}{x})}{h} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(1 + \frac{h}{x})}{h} \\ \end{align}

\begin{align} &= \lim_{h\to0}{\ln(1 + \frac{h}{x})}^\frac{1}{h} \\ \end {align} Ahora esta es la parte sobre la que estoy preguntando, porque veo que la mayoría de las personas establece el recíproco de mi límite, pero parece que funciona: \begin{align} n=\frac{x}{h}, h=\frac{x}{n}, \frac{1}{h} = \frac{n}{1}*\frac{1}{x} \end {align} Así que cuando h tiende hacia 0, n tiende hacia el infinito. \begin{align} &= \lim_{n\to\infty}{\ln\biggl((1 +\frac{1}{n})}^n\biggl)^\frac{1}{x} \\ \end {align} Aquí tenemos \begin{align} {\ln\lim_{n\to\infty}\biggl((1 +\frac{1}{n})}^n\biggl)^\frac{1}{x} \\ \end {align} \begin{align} =\frac1x\ln(e) = \frac1x \end {align} Esta es mi primera publicación, solo tenía curiosidad. Por favor, no me reprendas si es una pregunta tonta.

Answer 1

Creo que esto está bien. Usted debe reconocer que en un momento está usando el hecho de que la función de elevar algo a un fijo de energía es continuo: $$ \lim (\text{algo}^a)= (\lim (\text{algo}) )^una . $$

Por otra parte, la definición habitual de exponenciación para cualquier exponente $a$ depende del logaritmo natural: $$ \text{algo}^a = \exp(a (\ln \text{algo})) $$ así que hay un montón de análisis serio (a veces saltamos el primer tiempo a través de cálculo) en la correcta manipulaciones algebraicas que estás haciendo.

Dicho esto, este es un extraño ejercicio. Es de suponer que usted ha definido $\ln$ como la inversa de la exponenciación, por lo que $$ \exp(\ln(x)) = x . $$ Entonces la fórmula para la derivada de $\ln$ sigue de la regla de la cadena.

Answer 2

Sí, tu respuesta parece correcta, probablemente lo haría de esta manera aunque;

$\lim_{h\to0}\frac1h\ln\big(1+\frac hx) \\= \lim_{h\to0}\frac xh \frac1x\ln\big(1+\frac hx) \\= \frac1x\lim_{h\to0}\ln\big(1+\frac 1{\frac xh})^\frac xh\\ = \frac1x\ln(e) \\= \frac1x$