Seguro con los de segundo orden ecuaciones diferenciales complejas

Question

Solucionar $$y'' - 4y' + 5y = 0$$

Donde $y(0) = 0 \ , \ y'(0) = 2$.

Así que voy a resolver esto como un segundo grado del polinomio (ni idea de por qué)

$$\frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = 2 \pm 2i$$

Para el CASO III solución, ya que mi libro se llama es: $$Ae^{kt} \cos(wt) + B e^{kt} \sin(wt)$$

Donde$k = Re$$w = Im$.

Así que de todos modos, $$y(0) = A \cos(0) + B \sin (0) \Rightarrow A = 0$$

$$y'(0) = -A \sin(0) + B \cos (0) = 2 \Rightarrow B = 2$$

Así que la solución es, pues, $$y(t) = 2 \cos(t)$$

Estoy haciendo incluso este derecho? No tengo idea de lo que estoy haciendo y parece que las ecuaciones diferenciales se acaba de enseñar de esta manera. Enchufe este y que en estas fórmulas mágicas.

Answer 1

Tenemos:

$$m^2-4m+5 = 0 \implies m_1 = 2+i, m_2 = 2 - i$$

Esto significa que tenemos una solución:

$$y(x) = e^{2t}(c_1 \cos t + c_2 \sin t)$$

Ahora, suplente en el ICs y encontrar:

$$c_1 = 0, c_2 = 2$$

Esto hace que la solución final:

$$y(t) = 2 e^{2t} \sin t$$

¿Ves el pequeño problema cuando usted encuentra que el $\sqrt{-4}$ plazo en su respuesta? También se encuentra el correcto constantes, sino que utiliza el mal trig término en su solución.

Como una alternativa para comprobar esto, vamos a $y(t) = e^{\lambda t}$. Sustituir la parte posterior que en la educación a distancia y ver que te da el mismo resultado.

También, aquí están algunas notas sobre las Raíces Complejas , si se quiere entender la teoría un poco más.