¿Cómo averiguar qué número es mayor sin una calculadora?

Question

Así que tengo una pregunta que es:

¿Cuál es más grande?

$$2.2^{3.3} \text{ or } 3.3^{2.2} $$

Ahora tengo que averiguar con el uso de una calculadora, pero la respuesta es $3.3^{2.2}$ .

Lo único que se me ocurre es el redondeo.

Así que ya sabes:

$2^3=8$ y $3^2=9$

Me interesa ver si hay otras formas sólo porque puede existir la posibilidad de que me lo pidan:

¿Cuál es más grande?

$$2.5^{3.5} \text{ or } 3.5^{2.5} $$

Entonces, si utilizo la idea del redondeo, ¿podría redondear normalmente? Obtendría:

$$ 3^4 \text{ or } 4^3 $$

que muestra $3^4$ es mayor.

Esta es la única forma que se me ocurre, ¿hay alguna otra forma sin usar una calculadora para determinar cuál es más grande?

Answer 1

$$2.2^{3.3}\gtrless3.3^{2.2}$$ $$(2.2^3)^{1.1}\gtrless (3.3^2)^{1.1}$$ $$2.2^3\gtrless 3.3^2$$ $$(2\cdot 1.1)^3\gtrless (3\cdot 1.1)^2$$ $$2^3\cdot 1.1\gtrless 3^2$$ $$8\cdot 1.1\gtrless 9$$ $$8.8<9.$$

Así que, $$2.2^{3.3}<3.3^{2.2}.$$

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¿Puedes encontrar ahora qué número es mayor? $2.25^{3.375}$ o $3.375^{2.25}$ ;) ?

Answer 2

Un buen enfoque es el del cálculo. En particular: $$ a^b > b^a \iff a^{1/a} > b^{1/b} $$ Para comparar $a^{1/a}$ a $b^{1/b}$ podríamos considerar la función $f(x) = x^{1/x}$ (o su logaritmo, $\frac{\ln(x)}{x}$ ). ¿En qué intervalo es creciente la función? ¿En qué intervalo es decreciente?

Tenga en cuenta que esto sólo funcionará, sin embargo, si ambos valores son mayores que $e \approx 2.718$ o si ambos son inferiores a $e$ (así, si $a = 3$ y $b=4$ ). Por lo demás, no está inmediatamente claro.

Answer 3

Otro método es utilizar el hecho de que $\log a^b=b\log a$ para que puedas reducir los exponentes aunque no tengan divisores comunes evidentes:

$$2.2^{3.3}\gtrless3.3^{2.2}$$ $$3.3 \log 2.2 \gtrless 2.2 \log 3.3$$ $$1.5 \log 2.2 \gtrless \log 3.3$$ $$2.2^{1.5} \gtrless 3.3$$ $$2.2 \cdot 2.2^{0.5} \gtrless 3.3$$ $$2.2^{0.5} \gtrless 1.5$$ $$(2.2^{0.5})^2 \gtrless (1.5)^2$$ $$2.2 < 2.25$$ $$\Rightarrow 2.2^{3.3}\lt3.3^{2.2}$$

Answer 4

Calculemos el cociente: $$ \frac {3.3^{2.2}}{2.2^{3.3}} = \frac {3.3^{2.2}}{2.2^{2.2} \cdot 2.2^{\fbox{1.1}}} = \frac {(3/2)^{2.2}}{2.2^{1.1}} > \frac {1.5^2}{2.2^{1.1}} = \dots ? $$ EDIT: He editado el vergonzoso error, pero ahora este cálculo no es útil. Oleg lo arregló muy bien, ver debajo de .