Demostrar que no hay otras soluciones enteras

Question

Las soluciones enteras para esta ecuación: $m ^ 2 = 2 \cdot 3 ^ n - 5$ son estas cuatro parejas: $(n; m): (1;-1) (1;1) (3;7) (3;-7)$ .

¿Cómo puedo demostrar que no hay otras soluciones?

Answer 1

Una forma mecánica es reducirlo a un número finito de curvas de Mordell: $3^n$ siempre pertenece a una de las formas $r^3$ , $3r^3$ o $9r^3$ . Haciendo un simple cambio de variables se transforma cada una de estas posibilidades en una ecuación de la forma $y^2 = x^3 - N$ , donde $N \in \{20, 180, 1620\}$ . Existen tablas precalculadas de soluciones a estas curvas, y aunque OEIS no lleva las soluciones en sí, sí tabula el número de puntos enteros en http://oeis.org/A081120 :

• $N=20$ tiene $2$ puntos, por lo que deben ser $(x,y) = (6,\pm 14)$ correspondientes a sus soluciones $(n,m) = (3,\pm 7)$ después de desentrañar el cambio de variables.
• $N=180$ tiene $2$ puntos, por lo que deben ser $(x,y) = (6,\pm 6)$ correspondiente a $(n,m) = (1,\pm 1)$ .
• $N=1620$ no tiene puntos enteros, por lo que todas las soluciones se tienen en cuenta.

Editar: En los comentarios, Peter señala que hay un error importante en la lista de la OEIS para $N=180$ (lo que probablemente indica más errores). Hay una solución adicional $(x,y) = (69,\pm 573)$ pero esto lleva a un valor medio entero de $m = \frac{191}{2}$ y un valor irracional para $n$ por lo que no aporta una nueva solución a la ecuación original.

Answer 2

Un incluso $n$ no puede conducir a una solución porque la ecuación puede reescribirse como $$m^2-2k^2=-5$$ desde $3^n$ es un cuadrado, pero esta ecuación no tiene solución módulo $25$ por lo que no hay soluciones en los números enteros.

Si $n$ es impar y $n\ge 5$ la ecuación puede reescribirse como $$m^2-486k^2=-5$$

Los convergentes $\frac{p_n}{q_n}$ de la fracción continua de $\sqrt{486}$ satisfacer $$p_n^2-486q_n^2=-2$$ para impar n y $$p_n^2-486q_n^2=1$$ para incluso $n$

Desde $|-5|=5<\sqrt{486}$ y $-5$ no se produce en la secuencia $p_n^2-486q_n^2$ podemos concluir que $m^2-486k^2=-5$ no tiene solución entera. Esto completa la prueba de que no hay soluciones para $n\ge 5$

Answer 3

He aquí un enfoque.

Desde $m$ es impar, dejemos que $m = 2k + 1$

Tenemos $4k^2 + 4k + 6 = 2*3^n \implies 2k^2 + 2k + 3 = 3^n \implies 2k(k+1) = 3(3^{n-1} - 1)$

Así que $3$ tiene que dividir $k$ o $k+1$ y $3$ no puede ser un factor de ambos $k$ y $k+1$ .

Si $3$ divide $k$ entonces $k$ divide $3 \implies k = 3 \implies m = 7, n = 3$

Si $3$ divide $k$ y $k+1$ divide $3 \implies k = 0, m = 1, n = 1$