Cómo acercarse a soluciones generales de las ecuaciones funcionales de varias variables

Question

Entiendo el concepto de una función, en términos generales, pero cuando se llega a la solución general de las ecuaciones funcionales, a veces me resulta difícil de envolver mi cabeza alrededor del problema en cuestión. Por ejemplo, si me preguntaran a resolver la ecuación funcional $$f(x+t) - f(x-t) = 4xt,$$ I simplemente no saben por dónde empezar. Con mi experiencia en funciones, he aprendido a determinar las ecuaciones de la recíproca, el valor de f(x) que surge cuando uno de los tapones en los valores de x, y de cómo representar muchos tipos de funciones, pero estas soluciones de la más general tipo de realmente llegar a mi cabeza. Consejos sobre cómo abordar un problema (y similares) como esta? Muchas gracias.

Answer 1

Usted podría representar esto de una mejor manera al tomar $u = x+t$, $v = x-t$, por lo $x = (u+v)/2$$t = (u-v)/2$, con lo que la ecuación $$ f(u) - f(v) = u^2 - v^2 $$ El próximo aviso se puede separar la $u$'s y el $v$'s. ¿Qué le dice?

Answer 2

Poner $x=t$ y la solución gotas.