Dado conocidos y desconocidos de la línea de la ecuación y se maximiza el área del triángulo condición.

Question

Q) Si desde un punto de $P\equiv(4,4)$ perpendiculares a las líneas rectas $-3x+4y+5=0$ $y=mx+7$ reunirse en $Q$ $R$ y el área del triángulo $PQR$ es máxima, a continuación,$m=__ $ ?

Primero dibujé la línea conocida $-3x+4y+5=0$ y el desconocido de la línea de $y=mx+7$ luego me fijo la distancia perpendicular desde $P(4,4)$ como un valor fijo $b$ .

También sé que el área de un triángulo $\dfrac{1}2 \times base \times height$, de modo de maximizar esta área en la que tenemos $base=height$

Tomé $base$ mi asume constante $b$

Luego me enteré de $b=9/5$

Luego he sustituido en la fórmula de la distancia y no tengo idea de cómo proceder en el futuro

$\frac{9}{5}=\frac{-4m+4+c}{\sqrt{m^{2}+1}}$

Answer 1

Dejar caer la perpendicular de $P$ en la línea $g: \>-3x+4y+5=0$ da el punto de $Q$. Podemos considerar $PQ$ como base de triángulo, y luego tener que hacer la correspondiente altura tan grande como sea posible. Todas las líneas $h_m:\>y=mx+7$, $m\in{\mathbb R}$, pasar a través del punto de $Z=(0,7)$. Desde $\angle(PRZ)={\pi\over2}$ el punto de $R$ tiene que estar en el Thales círculo sobre el segmento de $PZ$. El centro de este círculo es el punto de $M=\bigl(2,{11\over2}\bigr)$, y su radio se calcula a ${5\over2}$. El punto óptimo de la $R$ se encuentra de la siguiente manera: Dibujar una paralela $g'$ $g$a través del punto de $M$ y se cruzan con el círculo. Tome el mejor de los dos puntos así obtenidos; es el de la izquierda. Mirando las simetrías de la figura uno se da cuenta de que $R=(0,4)$. Esto significa que hay una mayor triángulo $PQR$ satisfacción $\angle(PRZ)={\pi\over2}$, pero estrictamente hablando, $h_*:=R\vee Z$ no pertenece a la familia determinada de líneas $(h_m)_{m\in{\mathbb R}}$, ya que el $h_*$ es vertical.

Answer 2

En primer lugar, me encontré con la ecuación de las líneas que forman el triángulo.

1. $y-4=\frac{-1}{m}(x-4)$ que es la línea perpendicular a $y=mx+7$ y pasando a través de $P(4,4)$

2. $y-4=\frac{4}{3}(x-4)$ representa la línea perpendicular a $3x+4y+5=0$ y pasando a través de $P(4,4)$

Siguiente, necesito información acerca de los vértices del triángulo. Uno de los vértices puede ser obtenida mediante la resolución de $y-4=\frac{-1}{m}(x-4)$ $y=mx+7$ que es $$h=\frac{4-3m}{1+m^2}$$ y $$k=\frac{4m-3m^2}{1+m^2}+7$$

Ahora, el área del triángulo está dada por $\frac{1}{2}ab\sin\theta$. Es fácil observar que uno de los secundarios es fijo. (El lado formado por el punto dado y de línea fija). Dejar que el lado que se $a$. Ahora, todo lo que queda es maximizar $b\sin\theta$, lo que representa la altura del triángulo.

Para obtener la altura del triángulo, necesito encontrar la distancia perpendicular desde $(h,k)$ lado $a$.

Lado de la $a$ está dado por la línea de $y-4=\frac{4}{3}(x-4)$ que puede ser escrito como $$3y-4x+4=0$$ la distancia perpendicular de la fórmula, $$d(m)=\frac{3k-4h+4}{\sqrt{4^2+3^2}}$$

La gráfica de $d(m)$ tiene este aspecto:

Así, cuando las líneas son perpendiculares, obtendrás la máxima área del triángulo. Es decir, $m=\frac{4}{3}$

Answer 3

Primero de todo, su frase:"yo también sé que el área de un triángulo 12base×altura, para aprovechar al máximo este área en la que tenemos la base=altura" es tan malo que la causa de este triángulo, bajo ciertas restricciones y tal vez esto no es posible. Segundo, este problema es fácil, pero usted tiene que escribir con estas sugerencias: Elegir PQ como base triangular y encontrar las correspondientes altura. Al encontrar que la primera escritura de la ecuación de la línea de PR (como una función de m), a continuación, encontrar las coordenadas del punto R, ahora encontrar la distancia de R a partir de la línea de PQ. Así que usted tiene un escarificador función de m que desea ampliar. Vaya por delante.