Utilice el método de separación de variables para resolver $ u_t-ku_{xx}=2x^2t$

Question

Utilice el método de separación de variables para resolver $$u_t-ku_{xx}=2x^2t\;\;0<x<1,t>0\\ u(0,x)=\cos(\frac{3 \pi x}{2})\;\;0<x<1\\ u(t,0)=1,u(t,1)=\frac{3 \pi}{2}\;\;t>0$$

mi intento:

Supongamos que tomo $u(x,t)=X(x)T(t)$

entonces $u''_x=X''T, u'_t=XT'$

entonces la ecuación dada se reduce a $XT'-kX''T=2x^2t$

puede alguien ayudarme con este problema y por favor dígame cómo resolver la ecuación PDE no homogénea o sugiérame algún libro bueno para PDE con no homogénea que contenga el problema por favor

Answer 1

$$u_t-ku_{xx}=2x^2t$$ No se puede utilizar directamente la separación de variables como has hecho porque la EDP no es homogénea.

CONSEJO :

Primero, hay que cambiar de función $u(t,x)$ a otra función $v(t,x)$ como la EDP se vuelve homogénea. Entonces, buscamos una solución particular $y(t,x)$ para que : $$u(t,x)=v(t,x)+y(t,x) \quad\text{with}\quad \begin{cases}y_t-ky_{xx}=2x^2t \\v_t-kv_{xx}=0\end{cases}$$ No importa la solución particular $y(t,x)$ es. Así que podemos buscar uno lo más sencillo posible, por ejemplo un polinomio fácil de adivinar(o de determinar por el método de identificación) : $$y(t,x)=x^2t^2+\frac{2k}{3}t^3$$ Entonces, el método de separación de variables $v(t,x)=T(t)X(x)$ se puede utilizar.

Answer 2

La separación de variables sólo funciona si las condiciones de los extremos son homogéneas. Para ello, dejemos que $$ v(t,x) = u(t,x)-(1+(\frac{3\pi}{2}-1)x). $$ La ecuación para $v$ se convierte en $$ v_t - v_{xx} = u_t-u_{xx}= 2x^2t, \\ v(t,0)=u(t,0)-1=0, \\ v(t,1)=u(t,1)-\frac{3\pi}{2}=0, \\ v(0,x)=u(0,x)-(1+(\frac{3\pi}{2}-1)x) =\cos(3\pi x/2)-(1+(\frac{3\pi}{2}-1)x). $$ Ahora puede ampliar en las soluciones de $-X''=\lambda X$ , $X(0)=X(1)=0$ que tienen la forma $X_n(x)=\sin(n\pi x)$ : $$ v(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty}T_n(t)\sin(n\pi x) $$ Sustituyendo en la ecuación de $v$ da ecuaciones para $T_n$ : $$ \sum_{n=1}^{\infty}(T_n'(t)+n^2\pi^2T_n(t))\sin(n\pi x)=2x^2t $$ Multiplicando por $\sin(m\pi x)$ e integrando sobre $[0,1]$ y utilizando la ortogonalidad de la $\sin(n\pi x)$ funciones conduce a $$ T_n'(t)+n^2\pi^2T_n(t)= t\frac{\int_{0}^{1}2x^2\sin(n\pi x)dx}{\int_{0}^{1}\sin^2(n\pi x)dx} \\ \frac{d}{dt}\left(e^{n^2\pi^2 t}T_n(t)\right)=te^{n^2\pi^2 t}C_n $$ La integración de ambas partes en $t$ en $[0,t]$ da $$ e^{n^2\pi^2 t} T_n(t) -T_n(0) = C_n\int_{0}^{t}se^{n^2\pi^2 s}ds \\ T_n(t) = T_n(0)e^{-n^2\pi^2 t}+C_n e^{-n^2\pi^2 t}\int_{0}^{t}se^{n^2\pi^2s}ds $$ Los coeficientes $T_n(0)$ se determinan a partir de los datos iniciales del sistema: $$ \sum_{n=1}^{\infty}T_n(0)\sin(n\pi x) = v(0,x) $$