L'Hospital de la regla de problema

Question

$$\lim_{x\to 0^+}(x^{x}-1)\ln(x)$$ I need to solve this by L´Hopital´s rule: this is an indetermination of the type $0 \cdot \infty$:

$$\lim_{x\to 0^+}(x^{x}-1)\ln(x)=\lim_{x\to 0^+}{(x^{x}-1)\over {1\over \ln(x)}} $$

y esta es una indeterminación del tipo $0/0$, así que por L'Hospital de la regla: $$\lim_{x\to 0^+}{(x^{x}-1)\over {1\over \ln(x)}} =\lim_{x\to 0^+}{(x^{x}(1+\ln(x))\over {-1\sobre x\ln^{2}(x)}}$$

y esta es una indeterminación del tipo $\infty/\infty$. pero si sigo usando la regla de L'Hospital, el límite sólo se hacen más grandes así que, ¿cómo puedo hacer para resolver esto?

Answer 1

Empezamos como en la posterior. Necesitamos saber que estamos tratando con una forma indeterminada. Para eso necesitamos saber que $\lim_{x\to 0^+} x^x=1$. Que se puede hacer por la reescritura de $x^x$$e^{x\ln x}$, y encontrar el límite de $\frac{\ln x}{1/x}$ el uso de L'Hospital de la Regla.

Así, precisamente, como en el post, nos encontramos con que queremos $$\lim_{x\to 0^+} (x^x) (-x)(\ln^2 x+\ln^3 x).$$ Ahora es casi más. El plazo $x^x$ se comporta muy bien, nos puede olvidarse de él. Así que necesitamos $$\lim_{x\to 0^+}-x(\ln^2 x+\ln^3 x).$$ Vamos a tratar con el $x\ln^3 x$ part. Utilizamos, ¿qué otra cosa, L'Hospital de la Regla, y una familiar truco.

Reescribir $x\ln^3 x$$\frac{\ln^3 x}{1/x}$. Mediante el uso de L'Hospital de la Norma, nos encontramos con $$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln^3 x}{1/x}=\lim_{x\to 0^+} -3x\ln^2 x.$$ Now do it again. We want $\lim_{x\to 0^+} 6x\ln x$. Y sabemos lo que es esto.

Comentario: Hay un ahorro posible. Por ejemplo, reescribir $x\ln^3 x$ $\left(\dfrac{\ln x}{x^{-1/3}}\right)^3$. L/Hospital de la Regla, se aplica una vez, muestra que $\dfrac{\ln x}{x^{-1/3}}$ limit $0$.

Answer 2

Sugerencia: $$\lim_{x\to 0^+}(x^{x}-1)\ln(x)\\ \implica \text{Deje $x=\dfrac{1}{t}$, dando }\lim_{t\to +\infty}\left(\left(\dfrac{1}{t}\right)^{1/t}-1\right)\ln\left(\dfrac{1}{t}\right)\\ \implica \lim_{t\to +\infty}\left(\dfrac{1-t^{1/t}}{t^{1/t}}\right)\ln\left(\dfrac{1}{t}\right)\\ \implica \lim_{t\to +\infty}\left(\dfrac{(1-t^{1/t})\ln\left(\dfrac{1}{t}\right)}{t^{1/t}}\right)\\ \implica \lim_{t\to +\infty}\dfrac{\left(x^{1/x}-1\right)x+x^{1/x}\ln(x)} {x^{\frac{1}{x}de {-2}}$$ Usted puede demostrar que esto va a cero, como se $t$ va al infinito.

Answer 3

Si hay un logaritmo, siempre elija para diferenciarlos, de lo contrario no simplificar en todo. Hacerlo de la otra manera:

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/(x^x-1)}=$$ $$=\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/(x^x-1)^2 \frac{d}{dx}(e^{x\ln x}-1)}=$$ $$=\lim_{x\to 0^+}\frac{-(x^x-1)^2}{x e^{x\ln x}(\ln x+1)}=$$ $$=\lim_{x\to 0^+}\frac{-(x^x-1)^2}{x^x (x\ln x+x)}=$$ $$=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^x}\lim_{x\to 0^+}\frac{-(x^x-1)^2}{x\ln x+x}=$$ $$=\lim_{x\to 0^+}\frac{-2(x^x-1)x^x(\ln x +1)}{\ln x + 2}=$$ $$=-2\lim_{x\to 0^+}(x^x-1)x^x\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x +1}{\ln x + 2}=-2\times 0\times 1=0$$

Estoy seguro de que se puede hacer mucho más elegante.

Answer 4

Sugerencia: en Realidad, si usted invertir la otra, y aplicar la regla de L'Hospital de dos veces (si no tengo un error) debería funcionar: $$(x^x-1)\ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x^x-1}}=\frac{\infty}{\infty}$$Apply now L'Hospital's rule to find $$ \frac{(\ln x)'}{\left(\frac{1}{x^x-1}\right)'}=-\frac{\frac1x}{\frac{x^x(1+\ln x)}{(x^x-1)^2}}=-\frac{(x^x-1)^2}{x^{x+1}(1+\ln x)}=-\frac{x^x-2+\frac{1}{x^x}}{x+x\ln x}$$ que es $0/0$, aplicar la regla de L'Hospital de nuevo para encontrar $$-\frac{\left(x^x-2+\frac{1}{x^x}\right)'}{(x+x\ln x)'}=-\frac{x^x(1+\ln x)-\frac{1+\ln x}{x^{x}}}{2+\ln x}=-\frac{(1+\ln x)}{(2+\ln x)}\left(x^x-\frac{1}{x^x}\right)=\frac{1}{x^x}-x^x$$ since the terms $1+\ln x$ and $2+ \ln x$ cancel out as far as the limiting behaviour is concerned. The last term in the RHS is $1-1$ y por lo tanto el límite es cero.