Supongamos que yo tome un campo de número de $ K $, no necesariamente Galois, con número de clase $ h_k $ ( $ \mathbb{Q} $ ). Escribir $ \overline{K} $ para el normal cierre de $ K $. Lo que, en todo caso, puede decirse acerca de la relación entre el$ h_K $$ h_{\overline{K}} $? Una pregunta tratando con un caso particular de interés se presentan al final.
En general, sé que no hay una verdadera relación entre el número de clase de un campo de $ E $, y de una extensión de $ F \supset E $. Probablemente el mejor ejemplo de esto es$ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) $, $ d $ squarefree. Tenemos que $ h_{\mathbb{Q}} = 1 $, pero $ h_{\mathbb{Q}(\sqrt{-d})} \to \infty $$ d \to \infty $. En particular, no puede haber ningún límite superior en $ h_F $ como una función de sólo$ h_E $$ [F\colon E] $.
Sin embargo, desde el campo de la clase de teoría que nos hace llegar la siguiente observación. Deje $ H(E) $ denotar Hilbert campo de la clase de $ E $. A continuación, los campos $ E \subset F $ ajuste en el siguiente diagrama. \begin{array}{cc} & H(F) & \\ \quad \huge\diagup & {\huge|} h_{F} \\ H(E) & F \\ {\huge|} h_E & {\huge\diagup} [F\colon E] \\ E \end{array} Llegamos a la conclusión de que $ h_E \mid h_F [F \colon E] $. Pero, por supuesto, que en el caso anterior nos dice esto de la trivial resultado que $ 1 \mid h_F [F \colon E] $. Puede algo más preciso decir en el caso de $ K \subset \overline{K} $?
Al principio, me preguntaba/espera si había obligado como $ h_{\overline{K}} \mid [\overline{K}\colon K] h_k^{[\overline{K} \colon K]} $, pero después de algunas experimentaciones numéricas con Magma, me parece que este no tiene. Por ejemplo, con $ K = \mathbb{Q}(\theta) $ donde $ \theta $ es una raíz de $ 2 + 7x + 2x^2 + 8x^3 $, obtenemos que $ h_K = 2 $$ h_{\overline{K}} = 88 $. De alguna manera, un factor de 11 aparece de repente. Pero tal vez esto tiene que ver con el hecho de que el discriminante $ \Delta_{\overline{K}} $ contiene un factor de 11?
Esta pregunta abierta, es motivado por una observación que se produjo cuando he mirado el de la pura cúbicos campos de $ K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{n}) $. Aquí, la situación parece más "rígido". En este caso,$ \overline{K} = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{n}, \sqrt{-3}) $, y en todos cubo libre de casos de $ n = 1, \ldots, 1000 $, me parece encontrar ese $ h_{\overline{K}} \mid h_K^2 $. Pero por otra parte $$ h_K^2 / h_{\overline{K}} \in \{ 1, 3 \} \, . $$
Pregunta: Es esto cierto en general para $ K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{n}) $ que $ h_{\overline{K}} \mid h_K^2 $? Aún más, ¿tenemos $ h_K^2 / h_{\overline{K}} \in \{ 1, 3 \} $. Si es así, ¿cómo puede esto ser probada? Es esta una sombra de algunos de los más generales resultado?
Extra: Si es cierto que para $ K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{n}) $,$ h_K^2 / h_{\overline{K}} \in \{ 1, 3 \} $. Hay algo acerca de $ n $ o $ K $, lo que nos permite predecir si el caso $ h_K^2 / h_{\overline{K}} = 1 $ se produce, o en el caso de $ h_K^2 / h_{\overline{K}} = 3 $?
