Skorokhod Incrustación teorema de la prueba

Question

Se produce en Durrett la prueba de Skorokhod incrustación que se necesita de los siguientes.

Supongamos que tenemos un movimiento Browniano $B_t$ en 1-d, que empieza a las $0$. (Para ser claros, no es necesariamente construido en el Wiener espacio, pero yo lo requieran estar en todas partes continuo. Con esta suposición, entonces tenemos que $T_{b, a}=inf\{t\geq 0 : B_t \notin (a, b)\}$ es un tiempo de paro respecto de la norma de derecho continuo (RC) filtración.) Si $U, V$ son casas rodantes con $U\geq0$ $V\leq0$ a continuación, se supone que la función de $T_{U, V}$ es medible. (con respecto a la original de sigma álgebra de que $U, V$ son vehículos recreativos.) Aviso que este no es un tiempo de paro.

Necesito ayuda con eso.

También, a continuación, utiliza el opcional de frenado teorema continua RC martingales con RC filtraciones. Este teorema implica que si $T$ es el tiempo de parada y $X_t$ es la martingala, entonces $X_T$ es medible respecto de la sigma álgebra de la tiempo de parada de las $T$ y también para todos los $t\geq0$ tenemos $X_T=E(X_t|\mathfrak{F}_T)$$\{T<t\}$.s.

Durrett sólo dice que por el condicionamiento en los valores de (U, V), podemos aplicar esto a nuestra situación anterior a la conclusión de que (Por ahora él ya ha comenzado a asumir la medición de la $T_{U, V}$.)

$E(T_{U, V})=E\{E(T_{U, V}|(U, V))\}=E(-UV)$.

Él ya ha demostrado que $E(T_{b,a})=-ab$. Donde puedo objetar es que parece que su manipulación es "el tratamiento de la $U, V$ como constante" sólo porque son el tema de "condicionados". Yo no entiendo de esto, especialmente desde $U, V$ se les permite tomar valores continuos.

(Para aquellos con el libro, ver pág. 384 y los alrededores.)

Answer 1

Deje $X\in\mathcal X$ $Y\in\mathcal Y$ ser independiente de elementos aleatorios en algunos de probabilidad conjunta de espacio.

Usted puede volver a escribir el teorema de Fubini: para cada función medible $f:\mathcal X\times \mathcal Y\to\mathbb R$ $$\mathbb E(f(X,Y)|X=x) =\mathbb Ef(x,Y).$$

Así que para tu caso como $B_{T_{U,V}}$ es una función de los dos elementos aleatorios $B_t\in C^0(\mathbb R)$ $(U,V)\in\mathbb R^2$ hemos

$$\mathbb E\left(\left. B_{T_{U,V}} \right|U=u,V=v\right) = \mathbb E\left(B_{T_{u.v}} \right). $$