¿Es integración continuidad conservadora?

Question

Tengo curiosidad sobre la siguiente pregunta: Supongamos que $f(x;\theta)$ es una función acotada de $x$, donde es el dominio de $x$ $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ y $\theta$ es visto como un parámetro. ¿Si es continua en $f(x;\theta)$ $\theta$, entonces bajo qué condiciones podemos garantizamos que la función $$F(\theta)=\int_a^b f(x;\theta)\,\mathrm{d}x$ $ es continuo en $\theta$? ¿Alguien me puede dar alguna ayuda? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Ya estamos viendo la continuidad en $\theta$, en vez de eso debemos interpretar $f(x;\theta)$ como una familia de funciones continuas de $\theta$ parametrizadas por $x \in [a,b]$. Desde

$$ |F(\theta + \delta) - F(\theta)| \le \int_a^b | f(x; \theta + \delta) - f(x; \theta)| \, dx ,$$

a continuación, una condición suficiente para $F(\theta)$ ser continua es que la familia $f(x; \theta)$ es equicontinuous, cuando se ve como parametrizadas por $x$.