Cierre de operadores

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ Banach. Decimos que el operador lineal $A:\mathcal{D}(A)\subseteq X\rightarrow Y$ admite un cierre si hay un operador lineal $B:\mathcal{D}(B)\subseteq X\rightarrow Y$ tal que $\mathcal{D}(A)\subseteq \mathcal{D}(B)$ , $B|_{\mathcal{D}(A)} = A$ y $\mathcal{G}(B)= \overline{\mathcal{G}(A)}$ , donde $\mathcal{G}(Z)$ es el gráfico de $Z$ .

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Quiero demostrar que $A$ admite un cierre si y sólo si cada secuencia $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \mathcal{D}(A)$ tal que $(x_n,A(x_n))\xrightarrow{n\rightarrow\infty}(0,y)$ con $y\in Y$ , satisfacen que $y=0$ .

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He probado ( $\Rightarrow$ ), pero he tenido problemas en ( $\Leftarrow$ ), porque no sé cómo definir el operador $B$ . Por favor, ¿alguien puede ayudarme?

Gracias de antemano.

Answer 1

El operador $B$ se define como sigue:

• Si $x \in \mathcal{D}(A)$ entonces $Bx := Ax$ .
• Si $x \notin \mathcal{D}(A)$ resulta ser el límite de una secuencia $\{x_n\}_n \subset \mathcal{D}(A)$ tal que $\{Ax_n\}_n$ converge en $Y$ ---notemos que tal secuencia no tiene por qué existir en general, en cuyo caso no podemos definir $B$ en $x$ ---entonces $Bx := \lim_{n\to\infty}Ax_n$ .

Se trata, pues, de comprobar que $B$ está realmente bien definida en el segundo caso. Así, supongamos que $x \notin \mathcal{D}(A)$ es el límite tanto de $\{x_n\}_n \subset \mathcal{D}(A)$ y de $\{x_n^\prime\}_n \subset \mathcal{D}(A)$ , de tal manera que $\{Ax_n\}_n$ y $\{Ax_n^\prime\}_n$ convergen en $Y$ . Entonces $$\{(x_n-x_n^\prime,A(x_n-x_n^\prime))\}_n = \{(x_n-x_n^\prime,Ax_n - Ax_n^\prime)\}_n \to_{n\to\infty} \left(0,\lim_{n\to\infty}Ax_n - \lim_{n\to\infty}Ax_n^\prime\right);$$ ¿qué puede concluir ahora?