Por abelianización entiendo, para cualquier grupo $G$ su subgrupo conmutador es el subgrupo $[G,G]$ generado por elementos de la forma $ghg^{-1}h^{-1}$ para $g,h\in G$ .
Entonces la abelianización de $G$ es $G^{\text{ab}} := G/[G,G]$ .
Para dos grupos cualesquiera $X,Y$ por funtorialidad tenemos un mapa $$\text{Hom}(X,Y)\rightarrow\text{Hom}(X^{\text{ab}},Y^{\text{ab}})$$
Mi pregunta es si este mapa es siempre sobreyectivo para dos grupos cualesquiera $X,Y$ ?
No. Toma $X=C_2=\{1,x\}$ y $Y=Q_8=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ . Entonces $\operatorname{Hom}(X,Y) = \{ x\mapsto 1, x\mapsto -1\}$ donde $x$ es el único elemento de orden 2 en $X$ y $-1$ es el único elemento de orden 2 en $Y$ . Sin embargo, $X^{ab}=C_2=\{\{1\},\{x\}\}$ y $Y^{ab}=C_2 \times C_2=\{\{\pm1\},\{\pm i\},\{\pm j\},\{\pm k\}\}$ para que $\operatorname{Hom}(X^{ab},Y^{ab}) = \{ \{x\} \mapsto \{ \pm 1 \}, \{x\} \mapsto \{\pm i\}, \{x\} \mapsto \{\pm j\}, \{x\}\mapsto \{\pm k\}\}$ tiene 4 elementos. La imagen de $\operatorname{Hom}(X,Y)$ es sólo el mapa único $\{x\} \mapsto \{\pm1\}$ .
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