Aplicación del teorema de Stone-Weierstrass

Question

Supongamos que $f \colon [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua en $[0,1]$ con $$\int_0^1 f(x)\ dx = \int_0^1 f(x)(x^n+x^{n+2})\ dx$$ para todos $n=0,1,2, \dots$ . Demuestre que $f\equiv 0$ . ¿Puede alguien ayudarme con esta pregunta? ¿Es ésta una de las preguntas en las que aplicamos el Teorema de Stone-Weierstrass? Gracias

Answer 1

Utilizando la relación, obtenemos $\int_0^1f(x)dx$ , dejando $n\to +\infty$ . De hecho $$\left|\int_0^1f(x)dx\right|\leq \max_{0\leq t\leq 1}|f(t)|\int_0^1(x^n+x^{n+2})dx=\max_{0\leq t\leq 1}|f(t)|\left(\frac 1{n+1}+\frac 1{n+3}\right).$$

Por inducción, deducimos que $\int_0^1f(x)x^{2k}dx=0$ para $k\geq 0$ y que $\int_0^1f(x)x^{2k+1}dx=(-1)^k\int_0^1f(x)xdx$ . Obtenemos $\int_0^1xf(x)dx=0$ dejar $k$ yendo a $+\infty$ entonces $\int_0^1f(x)dx=0$ .

Así que lo que tenemos es que $\int_0^1f(x)x^k=0$ para todos $k\geq 0$ y se aplica Stone-Weierstrass.