Tengo la tarea : encontrar el volumen del cuerpo limitado por la superficie $(\frac{x}{a})^{2/3} + (\frac{y}{b})^{2/3} + (\frac{z}{c})^{2/3}$ = 1. Sé que esta tarea es sobre la integral triple. Pero me he confundido con una superficie tan sorprendente. También he trazado un gráfico en Mathematica, pero no ha servido de nada. Tal vez hay una sustitución (al sistema de coordenadas cilíndricas).
Respuestas
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Vamos a escribir \begin {align} x &= a( \rho\sin ( \phi ) \sin ( \theta ))^3 \\ y &= b( \rho\sin ( \phi ) \cos ( \theta ))^3 \\ z &= c( \rho\cos ( \phi ))^3, \end {align} para entonces, $(x/a)^{2/3} + (y/b)^{2/3} + (z/c)^{2/3} = \rho^2$ . Además, el jacobiano de cambio de variables es $$648 \rho ^8 \sin ^2(\theta ) \cos ^2(\theta ) \sin^5(\varphi ) \cos ^2(\varphi ).$$ Así, el volumen puede calcularse como $$8\int _0^1\int _0^{\frac{\pi }{2}}\int _0^{\frac{\pi }{2}}27 a b c \rho ^8 \cos ^2(\theta ) \cos ^2(\varphi ) \sin ^2(\theta ) \sin ^5(\varphi ) \rho ^2d\varphi d\theta d\rho = 8\frac{9}{770} \pi a b c.$$
También puede utilizar la parametrización para visualizar el objeto. Esto es lo que parece para $a=b=3$ y $c=2$ .
rajb245
Puntos
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Si estuvieras integrando sobre el volumen
$$\left(\frac{x}{a}\right)^{2} + \left(\frac{y}{b}\right)^{2} + \left(\frac{z}{c}\right)^{2} \leq 1$$
utilizarías polares esféricos con $x = ar\sin\theta\cos\phi$ , $y = br...$ , $z = cr...$ .
Ahora intenta modificarlas para que se ajusten a tu forma tomando las potencias adecuadas. Luego calcula el jacobiano....
