Volumen de una bola de n dimensiones

Question

La bola abierta de radio $r$ en $\mathbb R^N$ es el conjunto $\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in R^N \mid \sum_{i=1}^N x_i^2< r^2\}$
Por definición, su volumen $V_N(r)={\int\int\cdots\int} 1 \, dx_1 \, dx_2\cdots dx_N$

Cómo demostrar que
$$ V_N = V_{N-1} \int _0 ^{\pi/2} \cos^n \theta \, d\theta$$

V $_n$ es el volumen de la bola unitaria de n dimensiones.
Alguna idea de cómo puedo mostrar esto, por favor, no tengo idea de qué tipo de enfoque debo tomar

Answer 1

Buscar:

"Encontrar el volumen y la superficie de las hiperesferas en ${\Bbb R}^n$ " (Mario Sracic)

"El volumen de una hiperesfera n-dimensional" (A. E. Lawrence)

"El volumen de una esfera de n dimensiones en ${\Bbb R}^{n+1}$ "

Answer 2

$$ V_n(r) = \int_0^r \int_{x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2\le r^2-x^2} dx_1\ldots dx_{n-1} dx \\ = \int_0^r V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) dx\\ = \int_0^{\frac\pi 2} V_{n-1}(r\cos\theta) r\cos\theta \ \ d\theta $$

Ahora utiliza el hecho de que $V_n(r) = r^n V_n(1) =: r^n V_n$ : $$ r^n V_n = \int_0^{\frac\pi 2} V_{n-1}(r\cos\theta)^{n-1} r\cos\theta \ \ d\theta\\ V_n = V_{n-1}\int_0^{\frac\pi 2} (\cos\theta)^{n}\ d\theta $$

Answer 3

De hecho, usted no puede demostrar que

$$ V_n \stackrel?= V_{n-1} \int _0 ^{\pi/2} \cos^n \theta \, \mathrm d\theta.$$

Los dos lados de esta supuesta "ecuación" no son iguales.

Por ejemplo $n = 3.$ Entonces $V_{n-1} = V_2 = \pi$ y

$$ \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta \, \mathrm d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^3 \theta \, \mathrm d\theta = \frac23. $$

Por lo tanto $$ V_{n-1} \int _0 ^{\pi/2} \cos^n \theta \, \mathrm d\theta = \frac23\pi. $$

Pero $$ V_n = V_3 = \frac43\pi. $$

Para corregir la ecuación, podemos integrar a partir de $-\frac\pi2$ a $\frac\pi2$ en lugar de $0$ a $\frac\pi2$ (equivalente a integrar en coordenadas cartesianas a partir de $-r$ a $r$ en lugar de desde $0$ a $r$ como se sugiere en un comentario en otra respuesta ) o podemos reconocer la simetría de esa integral y simplemente duplicar la integral original. Es decir

$$ V_n = V_{n-1} \int _{-\pi/2} ^{\pi/2} \cos^n \theta \, \mathrm d\theta = 2 V_{n-1} \int _0 ^{\pi/2} \cos^n \theta \, \mathrm d\theta. $$

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Una derivación correcta al estilo de la respuesta mencionada anteriormente podría ser \begin{align} V_n &= \int_{x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2+x_n^2\leq 1} \mathrm dx_1 \cdots \mathrm dx_{n-1}\, \mathrm dx_n \\ &= \int_{x_n^2\leq 1} \int_{x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2\le 1-x^2} \mathrm dx_1\cdots \mathrm dx_{n-1}\, \mathrm dx_n \\ &= \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\right)^{n-1} V_{n-1}\, \mathrm dx \\ &= \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} (\cos^{n-1}\theta) V_{n-1}\cdot \cos\theta \,\mathrm d\theta \\ &= V_{n-1} \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \cos^n\theta \,\mathrm d\theta \end{align}

utilizando la convención notacional de que el volumen de un $n$ -bola de radio $r$ es $r^n V_n.$