Determinar el valor de la integral de la $I=\int_{0}^{\infty} \frac{\ln\left(a^2+x^2\right)}{b^2+x^2}dx$

Question

Determinar el valor de la integral de la $$I(a)=\int_{0}^{\infty} \frac{\ln\left(a^2+x^2\right)}{b^2+x^2}dx$$

Yo:

$\to I'(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{2a}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}dx=\frac{\pi}{b(a+b)}$

Por lo tanto $I(a)=\frac{\pi}{b}\ln(a+b)+C$

Pregunta: Encontrar C???

Gracias!

Answer 1

Desde el integrando es incluso la función, por lo que
$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln\left(a^2+x^2\right)}{b^2+x^2}dx$=$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln\left(a^2+x^2\right)}{b^2+x^2}dx$
así que la solución de los R. H. S el uso de residuos--

$\int_{C} f(z)dz=\int_{Cr} f(z)dz +\int_{-R}^{R}\frac{1}{2} \frac{\ln\left(a^2+x^2\right)}{b^2+x^2}dx$
donde C es el circuito cerrado en la mitad superior del plano y f(z)= $ \frac{1}{2}\frac{\ln\left(a^2+z^2\right)}{b^2+z^2}$

y f(z), en $\frac{1}{2}\frac{\ln\left(a^2+z^2\right)}{(z+bi)(z-bi)}$ por factorización del denominador
hay para f(z) tiene singularidades en z=a+bi-bi, pero sólo z=bi encuentran en la mitad superior del plano

por eso,$\int_{C} f(z)dz=2(pi)(i)$[residuo de f(z)$bi$]
y como R tiende a infinito $\int_{Cr} f(z)dz-->0$
tenemos

$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln\left(a^2+x^2\right)}{b^2+x^2}dx=\int_{C} f(z)dz=2(\pi)(i)$[residuo de f(z)$bi$]

=$\frac{\pi}{2b}\ln(a^2-b^2)$

Answer 2

En primer lugar, se introduce un lema: \begin{equation} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin(x))dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos(x))dx\\ \mbox{Then}\\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\tan(x))dx=0 \end{equation} La prueba de ver aquí.

Set $a=0$ y el uso de la sustitución de $x=b\tan(u)$, tenemos: \begin{equation} I(0)=2\int_0^\infty\frac{\ln(x)}{b^2+x^2}dx=\frac{2}{b^2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\ln(b\tan(u))}{(1+\tan(u)^2)\cos(u)^2}du\\ =\frac{2}{b^2}\int_0^\frac{\pi}{2}\ln(b\tan(u))du\\ =\frac{\pi\ln(b)}{b} \end{equation} A continuación, puede resolver la constante $C$.