Infinito de la suma de la participación de los poderes y factoriales

Question

Estoy interesado en la evaluación de la siguiente suma infinita \begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{n!}n^{\beta} \end{equation}

donde tanto $\alpha$ $\beta$ son números reales. Sin embargo, además de, $\alpha$ es siempre positivo.

Claramente la suma converge para cualquier valor de $\alpha$ $\beta$ desde el factorial mata exponenciales y términos para suficientemente grande $m$'s. Hace la suma tiene una forma cerrada?

Answer 1

Asumiendo $\alpha=e^{\gamma}$,

$$\sum_{n\geq 0}\frac{\alpha^n}{n!}n^\beta = \sum_{n\geq 0}\frac{e^{\alpha n}}{n!}n^{\beta}=\left.\frac{\partial^\beta}{\partial u^{\beta}}\,\exp(\exp(u))\right|_{u=\alpha}.$$ Si $\beta\not\in\mathbb{N}$, ver fraccional de cálculo.