¿Por qué no podemos definir "el" derivado cuando la asignación de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$?

Question

Cuando tenemos un mapa de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, la derivada está dada por $\lim_{x \to a} \dfrac {f(x) - f(a)}{x-a}.$ Cuando tenemos un mapa de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ (básicamente $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$) también tenemos una definición de la derivada, $\lim_{z \to w} \dfrac {f(z) - f(w)}{z-w}.$

Sin embargo, cuando hacemos un mapa de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, sólo hemos derivadas parciales, $\dfrac {\partial f}{\partial x}$, $\dfrac {\partial f}{\partial y}$, y derivadas direccionales. ¿Por qué es que no podemos definir la derivada, al igual que nosotros en el otro $2$ de los casos? Es porque no hay buena manera de definir la división entre un miembro de $\mathbb{R}$ y un miembro de la si $\mathbb{R}^2$?

Answer 1

Nos puede definir la derivada: un mapa de $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ se dice derivable en a $x \in \mathbb{R}^n$ si hay lineal mapa de $\alpha: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ tal que para cada a$h \in \mathbb{R}^n$, $f(x+h) = f(x) + \alpha(h) + \epsilon(h) |h|$ donde$\epsilon(h) \to 0$$h \to 0$, y donde $|\cdot|$ es el estándar de la norma Euclídea. (Es muy fácil probar que tal $\alpha$ es único, si es que existe; nosotros la llamamos la derivada.)

La idea es expresar el mapa como la suma de algo lineal y algo pequeño. A continuación, el lineal es la "derivado".

En el caso unidimensional (por ejemplo,$f(x) = x^2$), tenemos $\alpha(h) = f'(x) h$ (en este ejemplo, $\alpha(h) = 2xh$) en cada punto de $x$.

Answer 2

Una manera de verlo es que, como dices, no hay manera de "dividir" vectores en $\mathbf{R}^2$ que realmente tiene sentido.

Pero se puede pensar de esta manera. Cuando diferenciar una función de $y = f(x)$ a un punto de $x_0$, lo que estás haciendo está diciendo que esa función puede ser aproximada por una función lineal para los valores de $x$ cerca de $x_0$, es decir, $$y \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$$

Cuando diferenciar una función de $z = f(x,y)$ de dos variables, de la misma manera usted desea escribir que la función se puede aproximar por una función lineal cerca de $(x_0,y_0)$: $$z \approx k + a(x-x_0) + b(y-y_0),$$ cuya gráfica es un avión. En esta aproximación, la constante$k$$f(x_0,y_0)$, y los coeficientes de $a$$b$$\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)$$\frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)$, respectivamente. En cualquier caso, usted necesita dos coeficientes.

Answer 3

Debido a $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es no "básicamente el mismo"$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R^2}$.

La posibilidad de definir un derivado de una función $ f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ a utilizar , como se señaló, el hecho de que $ \mathbb{C}$ es un campo, y esto implica que la derivada, si es que existe, es mucho más que la aproximación lineal de la función cerca del punto.

Answer 4

Sólo quiero ampliar un poco más de un punto en el que las respuestas existentes ha hecho: La clave para la existencia de una "única" derivado de $\mathbb R$ $\mathbb C$ es, de hecho, ya hemos división en los juegos (que son campos), pero vale la pena el tiempo para pensar un poco acerca de lo que cambia.

Tomar una función $f$ $\mathbb R$ (a $\mathbb R$, por ejemplo). Si queremos diferenciar a un punto de $x$, nos fijamos en el límite $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. $$ Una manera de ver esto es para decir que empezamos a $f(x)$ y deformar la función un poco en la dirección $h$ conseguir $f(x+h)$, y ver cómo las deformaciones se comportan cuando hacemos la dirección $h$ más pequeño y más pequeño.

Considere ahora un holomorphic función de $f$ $\mathbb C$ (de nuevo, vamos a decir a $\mathbb C$). Podemos jugar el mismo juego de nuevo para diferenciar a un punto de $z$: se Deforman un poco en un complejo de dirección $h$, y ver cómo las deformaciones se comportan como la dirección $h$ se hace más pequeño y más pequeño.

Ahora vamos a hacer una función de $f : \mathbb R^2 \to \mathbb R$. De nuevo tenemos que fijar un punto de $(x,y)$ y quiere diferenciar en ese punto, así que tratamos de tocar la deformación juego de nuevo. Pero ahora tenemos un círculo entero de las direcciones que podría deformar la función, y no hay uno solo que es mejor que los demás, así que tenemos que considerar cada uno de ellos por separado. Esto da lugar a que el diferencial de operador $D$ $\mathbb R^2$ (o $\mathbb R^n$), donde ambos tenemos necesidad de decir en qué punto queremos diferenciar nuestra función, y en qué dirección, que corresponde a la pregunta acerca de las deformaciones de la función en que dirección se comportan.

Cuando podemos dividir las cosas, sólo hay una dirección a seguir, así que tenemos un privilegio derivado tipo de accidente.