La única solución no trivial a$1^2+2^2+\cdots+n^2=m^2$$(n,m)=(24,70)$. (Este hecho tiene conexiones a las formas modulares, funciones especiales, celosías y la teoría de cuerdas.) Martin Gardner, en el septiembre de 1966 problema de Scientific American, que se atribuye la siguiente pregunta para que alguien llamado Richard Britton: podemos baldosa $70\times70$ plaza con $1\times1$, $2\times2$, $\cdots$, $24\times24$ plazas? La respuesta, después de algunos análisis de la computadora, ha vuelto a ser negativa. (Si he entendido bien que no es la fuerza bruta, sino que era algo de una búsqueda exhaustiva. También tengo curiosidad sobre la posibilidad de un papel-y-lápiz combinatoria refutación.) Así que voy a relajar la pregunta un poco: ¿es posible mosaico de la $70\times70\,$ toro con estas plazas? Equivalentemente, podemos mosaico de la $70\times70$ plaza con ellos si nos permiten envolver a través de ambos pares de lados opuestos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es posible. Ian Gambini la tesis investigó el cuadrado de plazas en los cilindros y toruses hasta el fin 24. Encontró muchas soluciones, tales como los siguientes.
Más que eso, él se enumeran todas las posibles soluciones de la orden de 24. También estudió en el cuadrado de cilindros. En la última página (87) de su tesis, Gambini, se comprueba que el $70 \times 70$ 'toro' es imposible.
