Aparte de que uno tiene un producto escalar invariante positivo y el otro negativo, ¿cuáles son las diferencias físicas reales entre estos vectores?
Un vector temporal conecta dos eventos que están conectados causalmente, es decir, el segundo evento está en el cono de luz del primer evento. Un vector espacial conecta dos eventos que están causalmente desconectados, es decir, el segundo evento está fuera del cono de luz del primer evento.
En este sentido, se puede considerar que el vector temporal define una dirección de cuatro velocidades de un observador y, por lo tanto, el eje temporal de dicho observador (para que sea de cuatro velocidades debe estar normalizado). Por otro lado, se puede considerar que un vector espacial define un eje espacial (una dirección espacial) de un observador. Visto así los dos vectores definen un intervalo de tiempo o una longitud en el marco inercial apropiado, como dijo Vladimir.
Si dos acontecimientos se encuentran en un cono de luz, ¿estarán conectados causalmente y, por tanto, serán similares en el tiempo?
En ese caso, decimos que están conectados de forma luminosa (el vector que conecta los dos sucesos es luminoso), porque pertenecen al caso marginal de estar conectados sólo por la luz. En el caso temporal, si suponemos que la información viaja a la velocidad de la luz, entonces la información ha llegado al pasado del segundo punto (suponiendo de nuevo que también hay una línea del mundo que se extiende al pasado del segundo suceso). Por otro lado, en el caso de la velocidad espacial, la información llegará al futuro del segundo suceso. Por lo general, los sucesos conectados causalmente están separados de forma luminosa o temporal.
Aunque ya hay tres respuestas, en realidad no responden a nada. Todas y cada una de ellas no distinguen entre los vectores que forman parte de un espacio tangente (por ejemplo, la cuatro-velocidad) y los vectores que están presentes debido a la estructura lineal que posee Minkowski porque es plano . El segundo tipo de vectores se obtienen como diferencias de los eventos espacio-temporales. Es muy peligroso confundir estas dos nociones y me atrevo a decir que es una fuente de algunas de las paradojas estándar de la RS. El segundo tipo de estructura vectorial no está presente en los espacios-tiempo curvos en general y en su lugar hay que hablar de curvas.
Ahora bien, no está claro el tipo de vector por el que preguntas. Si sólo se trata de las diferencias de eventos espacio-temporales, entonces es básicamente de lo que habla Vladimir.
Si, en cambio, te interesan los elementos del espacio tangente (a algún suceso), entonces estamos hablando de nociones como cuatro-velocidad y cuatro-momento (a efectos de esta respuesta no distinguiré el espacio cotangente del espacio tangente) cuyo significado físico es totalmente diferente de las nociones anteriores. La norma cuadrada de la cuatro-velocidad puede ser una de las siguientes $-c^2, 0, c^2$ dependiendo de si es temporal, lumínico o espacial. La norma correspondiente del cuadrado del cuatrimomento es la masa en reposo al cuadrado, que se divide respectivamente en observadores masivos (con velocidad de propagación sublumínica), observadores sin masa (con velocidad lumínica) y partículas con masa imaginaria conocidas como taquiones que se propagan superlumínicamente.
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