La analítica y la algebraica "pequeño disco"

Question

Me gustaría entender la relación entre un objeto analítico (el llamado "pequeño disco") y algebraica de uno (el espectro de un DVR). El marco es el de un parámetro familias de curvas complejas $X\to S$.

Análisis: $S_0=\{z\in \mathbb C:|z|<\epsilon\}$.

Álgebra: $S_1=\textrm{Spec }\mathbb C[[t]]$.

Entiendo (mejor: acepto!) que, en virtud de algunas GAGA equivalencia de categorías, la flecha $X\to S$ puede ser considerado como un holomorphic mapa en la categoría de los complejos colectores, o como morfismos de complejo de variedades algebraicas. Pero, ¿por qué es $S_1$ la "traducción" de $S_0$?

Me imagino que la $S_1$ como de dos puntos en el espacio, donde el único punto de cierre es $(t)$ $\eta=(0)$ es el genérico de punto. Cuando miro a $S_0$, puedo suponer que el origen $0\in S_0$ desempeña el papel de $(t)\in S_1$. Puede alguien decirme cómo debo interpretar $S_0$ $S_1$ en términos de cada uno de los otros? (Lo siento, porque sé que esta es una pregunta vaga.)

La principal dificultad es lidiar con el hecho de que sólo hay dos puntos en $S_1$ (para una familia de $X\to S_1$ se compone de dos curvas), mientras que hay un número infinito de puntos en $S_0$. Pero entiendo que $\eta$, siendo un punto abierto, desempeña el papel de un barrio de $(t)$ exactamente como abrir cada barrio de la procedencia en $S_0$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay un par de cosas que están pasando aquí.

En primer lugar, estrictamente hablando, no creo que GAGA se aplica aquí, ya $S_1$ no es finito tipo (por ejemplo, aquí).

Pero su interpretación de las funciones de $(t)$ $(0)$ son correctos en el caso que estamos estudiando una degeneración de una familia de curvas de más de un DVR. En este caso, la familia $X\to S_1$ está determinado por un homomorphism $\mathbb C[[t]]\to\Gamma(X,\mathcal O_X)$, y hay dos fibras a considerar: la fibra sobre el punto de cierre $(t),$ y la fibra durante el genérico punto de $(0).$ Sobre el punto de cierre que tendrá un honesto curva de más de $\mathbb C,$, mientras que más de la genérica punto, tenemos una "familia", que es sólo una curva de más de $\mathbb C((t)).$

Lo Qiaochu menciona en su respuesta es en realidad un arco de la curva de $V(f)\in\mathbb C^2.$ Usted realmente debe pensar en esto como un infinitesimal de la analítica de aproximación de $V(f)$ $(x(0),y(0)),$ más que como una familia de curvas de degenerando a $V(f).$

Editar

Consideremos un ejemplo en particular, por el simple hecho de tener algo concreto a la vista. Podemos ver lo que sucede si $X$ es algo relativamente fácil, como $\operatorname{Spec}(\mathbb C[[t]][x])=\mathbb A^1_{\mathbb C[[t]]}.$ Los morfismos $X\to S_1$ está determinado por su doble $\mathbb C[[t]]\hookrightarrow\mathbb C[[t]][x].$ Vamos a ver las fibras.

Más de $(t)\subseteq\mathbb C[[t]]$ obtenemos $\kappa((t))=\mathbb C$ para el residuo de campo, por lo que la fibra es el espectro de $\mathbb C[[t]][x]\otimes_{\mathbb C[[t]]}\mathbb C\cong\mathbb C[x].$ por Lo tanto, la fibra de más de $(t)$ $\mathbb A^1_{\mathbb C},$ que es un honesto curva de más de $\mathbb C.$ Analíticamente, podemos pensar en esto como exactamente la fibra de más de $0,$ desde $t$ se desvanece en $0\in\mathbb C.$

Más de $(0)\subseteq\mathbb C[[t]]$ obtenemos $\kappa((0))=\mathbb C((t)),$ y podemos calcular fácilmente que la fibra es $\mathbb A^1_{\mathbb C((t))},$ que es ahora una curva a través de una trascendental de extensión de campo de $\mathbb C.$ El hecho de que esta es la fibra durante el genérico punto nos dice que pensemos en esta curva como un general de miembros de la "familia de curvas" $X$, exactamente de la misma manera como el genérico punto de $\mathbb C[[t]]$ se considera un punto general en el "infinitesimal barrio" del origen representado por $S_1$, mientras que el punto de cierre $(t)\subseteq\mathbb C[[t]]$ refiere exactamente el origen.

Con el fin de hacer realmente una estrecha relación con la complejidad del análisis de la imagen, creo que uno tiene que considerar a la familia $X\to S_1$ como una deformación de la cerrada de la fibra durante el anillo de $\mathbb C[[t]].$ En general, una vez que tenemos una pequeña deformación de un objeto, la cuestión de la deformación de la teoría es la de si podemos extender la deformación más grande (de $\mathbb C[[t]]$ en este caso) de la base de anillos, finalmente, la búsqueda de la "algebraica" deformaciones (es decir, sobre los no-local de los anillos) de un objeto dado. Mientras ciertos obstáculos se desvanecen, vamos a ser capaces de calcular las extensiones, aunque hay una gran teoría detrás de esto, y aún mostrando que los obstáculos se desvanecen puede ser difícil. Pero, si hemos encontrado una expresión algebraica de la deformación, por algo como $\mathbb C[t],$, entonces realmente podemos utilizar GAGA, o simplemente el hecho de que $\mathbb A^1_{\mathbb C}$ es, naturalmente, un complejo colector, para encontrar el derecho de la correspondencia.

Answer 2

No creo que en términos de puntos. Será más fácil para mí hablar de morfismos $S_1 \to X$ primera. Si $X = \text{Spec } R$, entonces este es un homomorphism $R \to \mathbb{C}[[t]]$. Por ejemplo, si $R = \mathbb{C}[x, y]/f(x, y)$, entonces este es un par de potencia de la serie $x(t), y(t)$ tal que $f(x(t), y(t)) = 0$. Si estas de alimentación de la serie tiene algunos finito radio de convergencia, entonces realmente hacemos llegar un honesto (analítica) de la curva de la parametrización de algunas pequeñas barrio de $(x(0), y(0))$ mediante el establecimiento $t$ a ser lo suficientemente pequeño, pero en el algebraicas imagen no nos preocupamos de los radios de convergencia; tenemos una "curva" parametrización de algunas "infinitesimal de barrio" de $(x(0), y(0))$.

Quizá sea útil pensar primero en homomorphisms $R \to \mathbb{C}$, que son los puntos y, a continuación, homomorphisms $R \to \mathbb{C}[t]/t^2$, los cuales son puntos junto con los vectores de tangentes (ejercicio) y, a continuación, homomorphisms $R \to \mathbb{C}[t]/t^3$, los cuales son...

Answer 3

Esta es la idea.

Si consideras que tu familia $X\rightarrow S_0$ central de fibra de $X_0$ (la fibra en el origen) y la inclusión $S_0\to \mathbb C$, entonces la composición le da $f:X\rightarrow \mathbb C$. Si $X$ es bueno, entonces usted puede utilizar GAGA para obtener una expresión algebraica de la familia $\mathcal X\to \mathbb A^1_{\mathbb C}$ tal que $f_{an}:\mathcal{X_{an}} \rightarrow \mathbb A^1_{\mathbb{C},an} $ es una familia con coincidir con su familia después de la restricción a la open disc $S_0$. En particular, la central es de fibra de la misma.

Ahora teniendo en cuenta el morfismos $ \mathbb C[x]\rightarrow \mathbb C[[x]]$ y cambio de base, obtenemos una familia de más de $S$: $$ \mathfrak f: \mathfrak X\rightarrow S$$ podemos obtener una expresión algebraica familia con especial fibra $\mathfrak X_0\rightarrow \mathop{Spec}\mathbb C$ tal que $$\mathfrak X_{0,an} = X_0 \rightarrow \mathbb C.$$

Que es una analítica de la familia durante el abierto de disco puede asociar una expresión algebraica familia sobre la algebraicas abrir el disco con el "mismo" central de fibra. Por otra parte debemos tener también que coherente poleas, Hodge estructuras, etc.. traducir... creo.