Relación entre la Línea de Paquetes con isomorfo anillo de secciones

Question

Supongamos que dos positivos holomorphic línea de paquetes de $L_1 \to X_1, L_2\to X_2$ más de dos proyectivo complejo colector de $X_1, X_2$ han isomorfo anillo de secciones $R=R_1=R_2$ donde $R_i=\oplus_{m=0}^\infty\Gamma(X_i,mL_i)$. Isomorfismo como graduales ${\mathbb C}$- álgebras.

Hay alguna relación entre los $X_1$$X_2$? Por ejemplo, algunos de morfismos entre ellos? Cómo acerca de la relación de a $Proj R$?

Gracias.

Answer 1

Si $X$ es un buen algebraica proyectiva variedad de dimensión $d$ sobre un campo y $L$ es una amplia línea de paquete en la $X$, $R=\bigoplus_{m=0}^{\infty} H^0(X,mL)$ es graduado $k$-álgebra de dimensión $d+1$ y,$X\simeq \mathrm{Proj}(R)$.

Answer 2

Para ampliar la respuesta anterior: como B. Cais dice, si la línea de paquetes son amplias (que creo que sigue de positividad por Kodaira), tenemos un isomorfismo canónico $\mathrm{Proj} R_i\cong X_i$. Por lo tanto, si el graduado de anillos de $R_i$ son isomorfos, entonces la inducida por el mapa de Proj da un isomorfismo $R_1\cong R_2$ la realización de una línea de un lote a otro.