Las expresiones de la segunda derivada

Question

Supongamos que $f$ continuo de las segundas derivadas. ¿Cómo puedo demostrar que

$$\frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2}$$

y

$$2\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h}{h^2}$$

ambos tienden a $f''(x)$$h \rightarrow 0$?

Para la primera expresión, puedo volver a escribir como

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h})$$

que puedo ver debe tienden a $f''(x)$, pero me parece que no puede demostrar rigurosamente. Para la segunda expresión, puedo volver a escribir como

$$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(f(x+h)-f(x))/h - f'(x)}{h}$$

No estoy seguro de que el factor de 2 viene, pero supongo que debe tener que ver con el hecho de que estamos tratando de tomar límites "simultáneamente" para$f'$$f''$. Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Aplicar la regla de L'Hospital de diferenciar el numerador y el denominador con respecto a $h$: $$ \begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x-h)}{2h} = f''(x). \end{align*} $$ (Sumar y restar $f'(x)$ en el numerador para ver la segunda igualdad.) Del mismo modo, $$ \begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h}{h^2}\, & = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{2h} = \frac{1}{2} f''(x). \end{align*} $$

Answer 2

Una prueba más de esta diferencia finita aproximación es la siguiente. Esto evita el uso de la regla de L'Hospital, pero depende de la continuidad de las segundas derivadas. El truco es el uso del teorema de Taylor.

$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(\xi) h^2/2$$ $$f(x-h) = f(x) - f'(x)h + f''(\xi) h^2/2$$

para algunos $\xi$$(x, x+h)$. Ahora toma la diferencia y deje $h$ tienden a cero. Por la continuidad, se obtiene la segunda derivada.