Tengo que probar
Si $f:X\to Y$ $g:Y\to X$ son incrustaciones, muestran que hay $X_1,X_2,Y_1,Y_2$ s.t. $X=X_1\sqcup X_2,Y=Y_1\sqcup Y_2$ (donde $\sqcup$ denota una discontinuo de la unión de conjuntos) y $f|X_1:X_1\cong Y_1, g|Y_2:Y_2\cong X_2$
Mi primera confusión es que esto realmente no parece ser acerca de la topología, pero sólo sobre el conjunto de la teoría. Independientemente, aquí es mi idea:
Debemos tener $$f(X_1)=Y-Y_2$$ $$g(Y_2)=X-X_1$$ Ahora por resolución de este como un sistema lineal encontramos $$f(X_1)=Y-g^{-1}(X-X_1)=g^{-1}(X_1)$$ Que me sugiere la siguiente construcción: construir un conjunto de $X_1$ como sigue: $$X_1^0=X-g(Y)$$ $$X_1^{n+1}=X_1^n\bigcup g(f(X_1^n))$$
Ahora estoy que no sabemos nada acerca de la recursión transfinita, que creo que es lo que necesitamos para utilizar en orden a la conclusión de que este proceso no en el hecho de especificar un conjunto $X_1$.
Ahora nos fijamos $X_2=X-X_1$, $Y_1=f(X_1)$, $Y_2=Y-Y_1$. Ahora sólo tenemos que mostrar que $f(X_1)=Y_1$$g(Y_2)=X_2$. La primera es verdadera por definición, y para el segundo:
$x\in g(Y_2)$. Supongamos $x\not\in X_2$, lo $x\in X_1$. A continuación, cualquiera de $x\in X_1^0$, lo cual no es posible ya que $x\in g(Y)$. O $x\in X_1^n$$n>N$. Sin embargo, luego podemos escribir $x=g(f(x'))$ algunos $x'\in X_1^N\subset X_1$, lo $x\in g(f(X_1))=g(Y_1)$, lo cual es una contradicción, ya que $g$ es inyectiva y $Y_2=Y-Y_1$.
$x\in X_2$. Supongamos $g^{-1}(x)\not\in Y_2$, lo $g^{-1}(x)\in Y_1=f(X_1)$. Así que, a continuación, $x=g(f(x'))$ algunos $x'\in X_1$. Pero luego también se $x\in X_1$ por la construcción de $X_1$, lo cual es una contradicción.
Creo que esto es correcto, pero no completamente. Mi principal problema con esto es que no estoy seguro de si $X_1$ está bien definido.
Yo también estoy un poco confundido por el hecho de que este parece ser sólo una teoría de la pregunta, no es en absoluto una topología pregunta. ¿Es esto cierto? Sé que si $f:X\to f(X)\subset Y$ es un homeomorphism, a continuación, $f|A:A\to f(A)\subset Y$ es también un homeomorphism, por lo que el hecho de que $f,g$ son homeomorphisms no parece que las...
Así que cualquier comentario sobre la exactitud de esta prueba sería muy apreciada.
