Encontrar un parámetro de una función

Question

Tengo una función: $f(x)=-\frac{4x^{3}+4x^{2}+ax-18}{2x+3}$ que tiene sólo un punto de intersección con la a $x$-eje.

¿Cómo puedo saber el valor de $a$?

Traté de división de polinomios y discriminante, pero no me ayuda.

Answer 1

He jugado con el numerador de esta función en Mathematica. Muchos de los valores de $a$ dar una raíz, pero sólo un valor de $a$, $a=-15$, da dos raíces reales distintas:

El doble de la raíz es al $x=-3/2$, el único en $x=2$. Sospecho que esto es lo que estabas buscando. En este caso,

$$f(x) = (2 x+3) (x-2)$$

Answer 2

Esto puede ser un poco más largo de lo necesario, pero quería mostrar mi proceso de pensamiento en la búsqueda de la solución.

Primero de todo, vamos a ignorar el signo de menos, eso no hará ninguna diferencia. Llame a $P(x) = 4x^3+4x^2+ax-18$$Q(x) = 2x+3$. Tenga en cuenta que si $x \neq -\frac32$,$Q(x) \neq 0$, por lo que podemos ignorar que cuando se buscan las raíces.

Supongamos $x=-\frac32$. A continuación, $P(-\frac32) = 0$ si y sólo si $a = -15$ (esto se puede verificar mediante la evaluación directa). Podemos factor de $P$ en este caso: $P(x) = 4(x+\frac32)^2(x-2)$. $Q$ también puede ser escrito como $Q(x) = 2(x+\frac32)$, por lo que podemos cancelar $x+\frac32$ y ver que, aunque la función no está definida en $x=-\frac32$, su límite es $0$. $f(x)$ también es cero en $x = 2$, por lo que si recuento $\frac32$ como una intersección, a continuación, $a=-15$ no es una solución, mientras que si lo cuentan, entonces es.

Ahora supongamos $x\neq -\frac32$. El problema se reduce a $P(x) = 4x^3+4x^2+ax-18 = 0$. Esta es la ecuación cúbica, por lo que va a ser bastante difícil de resolver directamente. En su lugar, echemos un vistazo a la derivada: $P'(x) = 12x^2+8x+a$. Si partimos de que la igualdad a cero obtenemos $x = \frac{-2\pm\sqrt{4-3a}}{6}$. Si $a \gt \frac43$, esto no tiene raíces y siempre es positivo. Por lo tanto, $P$ es creciente y tiene sólo una raíz.

Si $a = \frac43$ $P'$ tiene una doble raíz. $P$ sigue aumentando (aunque no es estrictamente así), y por lo tanto tiene sólo una raíz.

Parece como si $-15 \lt a \lt \frac43$ sólo hay una raíz, y si $a \lt -15$ hay tres. No sé cómo probar esto todavía, así que voy a postear esta respuesta incompleta la esperanza de que será útil.

Answer 3

Creo que esto podría funcionar. La asíntota horizontal de esta función es $x =\frac{-3}{2}$. Así que cada vez que esta división de los rendimientos de $0$ resto de esta asíntota no iba a funcionar ya que eso significa que tenemos alguna forma de $(2x+3)(\alpha x^{2}+\beta x+ \theta)$. Si este es el caso de la asíntota no iba a funcionar. Así por división de polinomios al $a =-15$ no hay resto, sin embargo mientras $a>-15$ hay resto y la asíntota de trabajo.