Cómo tomar las derivadas parciales de las funciones cuyas entradas dependen de la misma variable?

Question

Estoy empezando a aprender sobre el Cálculo de Variaciones y el de Euler-Lagrange ecuación es muy confuso para mí:

De Euler–Lagrange ecuación, entonces, está dada por $$L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.$$ donde $L_x$ $L_v$ denotar las derivadas parciales de $L$ con respecto al segundo y tercer argumentos, respectivamente.

Específicamente, no entiendo el significado de: $$L_x = \frac{\partial L(t, q, q')}{\partial q}$$

Estoy confundido porque $q$ $q'$ son ambas funciones de $t$, pero teniendo una derivada parcial exige que mantengamos demás parámetros constantes.

Sin embargo, $t$ es un parámetro de $L$. Por lo tanto a la hora de diferenciar $L$ con respecto al $q$, tenemos $t$ constante.

Pero si $t$ es constante, entonces no se que decir $q$ $q'$ son constantes?
Y, por tanto, no se debe a que los derivados $L_x$ $L_v$ tanto ser igual a cero?

Answer 1

Quizás mejor para CS antecedentes: $\partial/\partial t \ F(t,x,y)$ significa que la derivada de la función con respecto a la variación en su primera ranura, el parámetro formal $t$. $\mathrm{d}/\mathrm{d} t\ F(t,x,y)$ significa que la derivada de la función con respecto al parámetro de sistema $t$. La diferencia está entre los nombres de parámetro (diferenciación parcial) y las variables globales (total de la diferenciación).

Answer 2

Mientras escribimos $L$$L(t,q(t),q'(t))$, es realmente sólo una función de tres variables. Nos puede escribir como $L(x,y,z)$ y, cuando la evaluación de $L$ en una función determinada,$q$, sustituto $t$ $x$, $q(t)$ para $y$, e $q'(t)$$z$. Sin embargo, esto podría llevar a cierta confusión y un montón de extras de notación, por lo que no se suele hacer.

Así, al tomar la derivada parcial $\frac{\partial L}{\partial q}$, se puede simplemente ignorar las relaciones entre el$q$$q'$, y tratarlos como totalmente independiente de las variables.